Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Ejercicio 4 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 4.1 o 4.2.

Pregunta 4.2. En una clínica veterinaria se utiliza una prueba médica para detectar la insuficiencia renal en gatos adultos. Se sabe lo siguiente:

El porcentaje de gatos adultos con insuficiencia renal es del 5%.

Si el gato adulto tiene insuficiencia renal, la prueba da positivo el 90% de las veces.

Si el gato adulto no tiene insuficiencia renal, la prueba da positivo el 10% de las veces.

4.2.a) (1,25 puntos) Calcule la probabilidad de que un gato adulto seleccionado al azar dé un resultado negativo en la prueba.

4.2.b) (1,25 puntos) La prueba en un gato adulto ha resultado positiva. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga insuficiencia renal?

$\textbf{4.2.a) Calcule la probabilidad de que un gato adulto seleccionado al azar dé un resultado negativo en la prueba. (1,25 puntos)}$

Llamamos $IR$ al suceso «el gato tiene insuficiencia renal» y $+$ y $-$ a los dos resultados de la prueba. Las probabilidades de resultado negativo son las contrarias de las que da el enunciado.

$P(IR)=0{,}05, \qquad P(+/IR)=0{,}90, \qquad P(+/\overline{IR})=0{,}10$

Organizamos toda la información en un diagrama de árbol.



Los sucesos $IR$ y $\overline{IR}$ forman un sistema completo, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(-)=P(IR)P(-/IR)+P(\overline{IR})P(-/\overline{IR})$

$P(-)=0{,}05\cdot 0{,}10+0{,}95\cdot 0{,}90=0{,}005+0{,}855$

$P(-)=0{,}86$

La probabilidad de que un gato adulto elegido al azar dé negativo en la prueba es $0{,}86$.

$\textbf{4.2.b) La prueba en un gato adulto ha resultado positiva. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga insuficiencia renal? (1,25 puntos)}$

Se conoce el resultado y se pregunta por la causa, así que utilizamos el teorema de Bayes. La probabilidad de positivo es la contraria de la del apartado anterior.

$P(+)=1-P(-)=1-0{,}86=0{,}14$

$P(IR/+)=\dfrac{P(IR)P(+/IR)}{P(+)}=\dfrac{0{,}05\cdot 0{,}90}{0{,}14}=\dfrac{0{,}045}{0{,}14}$

$P(IR/+)\approx 0{,}3214$

Si la prueba da positiva, la probabilidad de que el gato tenga realmente insuficiencia renal es de solo el 32,14 %. Aunque la prueba acierta en el 90 % de los enfermos, la enfermedad es poco frecuente y la mayoría de los positivos proceden del grupo sano, que es mucho más numeroso.