Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Ejercicio 4 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 4.1 o 4.2.

Pregunta 4.1. Sean $A$, $B$ y $C$ tres sucesos. Se sabe que $A$ y $B$ son independientes. Además, se conoce la siguiente información:

$P(A)=0{,}4, \quad P(\overline{B})=0{,}7, \quad P(C)=0{,}5, \quad P(A\cap B\mid C)=0{,}2$,

donde $\overline{B}$ denota el suceso complementario de $B$.

4.1.a) (0,75 puntos) Calcule la probabilidad de que no ocurra $A$ o no ocurra $B$.

4.1.b) (0,75 puntos) Determine la probabilidad de que $A$ y $\overline{B}$ ocurran simultáneamente.

4.1.c) (1 punto) Obtenga $P(C\mid A\cap B)$.

$\textbf{4.1.a) Calcule la probabilidad de que no ocurra } \boldsymbol{A}\textbf{ o no ocurra } \boldsymbol{B}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Empezamos por traducir los datos: del complementario obtenemos $P(B)$ y de la independencia, la probabilidad de la intersección.

$P(B)=1-P(\overline{B})=1-0{,}7=0{,}3$

$P(A\cap B)=P(A)P(B)=0{,}4\cdot 0{,}3=0{,}12$

Que no ocurra $A$ o no ocurra $B$ es la unión de los contrarios, que por las leyes de De Morgan es el contrario de la intersección.

$P(\overline{A}\cup\overline{B})=P(\overline{A\cap B})=1-P(A\cap B)=1-0{,}12$

$P(\overline{A}\cup\overline{B})=0{,}88$

La probabilidad de que no ocurra alguno de los dos sucesos es $0{,}88$.

$\textbf{4.1.b) Determine la probabilidad de que } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{\overline{B}}\textbf{ ocurran simultáneamente. (0,75 puntos)}$

Si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $A$ y $\overline{B}$, así que la probabilidad de la intersección es el producto.

$P(A\cap\overline{B})=P(A)P(\overline{B})=0{,}4\cdot 0{,}7$

$P(A\cap\overline{B})=0{,}28$

Se comprueba por el otro camino, descomponiendo $A$ en las dos partes disjuntas $A\cap B$ y $A\cap\overline{B}$.

$P(A)-P(A\cap B)=0{,}4-0{,}12=0{,}28$

La probabilidad de que ocurran a la vez $A$ y $\overline{B}$ es $0{,}28$.

$\textbf{4.1.c) Obtenga } \boldsymbol{P(C\mid A\cap B)}\textbf{. (1 punto)}$

Aplicamos la definición de probabilidad condicionada. El numerador se obtiene del dato $P(A\cap B/C)$ por el teorema de la probabilidad compuesta, que es la primera rama del árbol.



$P(A\cap B\cap C)=P(A\cap B/C)P(C)=0{,}2\cdot 0{,}5=0{,}1$

$P(C/A\cap B)=\dfrac{P(A\cap B\cap C)}{P(A\cap B)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}12}$

$P(C/A\cap B)=\dfrac{5}{6}\approx 0{,}8333$

Sabiendo que han ocurrido $A$ y $B$, la probabilidad de que también ocurra $C$ es de $0{,}8333$.