Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Ejercicio 3 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 3.1 o 3.2.

Pregunta 3.2. Se considera la función real de variable real definida por

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{2x-1} & \text{si } x<0 \\[2mm] \dfrac{4x^3+x^2}{x^2-9} & \text{si } x\ge 0 \end{cases}$

3.2.a) (0,5 puntos) Determine el dominio de $f(x)$.

3.2.b) (0,5 puntos) Estudie la continuidad de $f(x)$ en $x=0$.

3.2.c) (1,5 puntos) Calcule las asíntotas de $f(x)$.

$\textbf{3.2.a) Determine el dominio de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Solo pueden quedar fuera del dominio los puntos que anulan un denominador dentro del trozo en el que ese denominador actúa.

$2x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2} \notin (-\infty,0)$

$x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm 3, \quad \text{y de ellos solo } x=3 \in [0,+\infty)$

El único punto que hay que excluir es $x=3$, así que $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{3\}$.

$\textbf{3.2.b) Estudie la continuidad de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en } \boldsymbol{x=0}\textbf{. (0,5 puntos)}$

En $x=0$ cambia la definición de la función, de modo que comparamos los dos límites laterales con el valor de la función.

$f(0)=\dfrac{4\cdot 0^3+0^2}{0^2-9}=\dfrac{0}{-9}=0$

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\dfrac{0}{2\cdot 0-1}=\dfrac{0}{-1}=0$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)=0$

Los tres valores coinciden, luego la función es continua en $x=0$.

$\textbf{3.2.c) Calcule las asíntotas de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. (1,5 puntos)}$

El único candidato a asíntota vertical es el punto excluido del dominio. El numerador tiende a $4\cdot 27+9=117>0$ mientras el denominador se anula cambiando de signo.

$\lim_{x\to 3^-}\dfrac{4x^3+x^2}{x^2-9}=\dfrac{117}{0^-}=-\infty, \qquad \lim_{x\to 3^+}\dfrac{4x^3+x^2}{x^2-9}=\dfrac{117}{0^+}=+\infty$

La recta $x=3$ es asíntota vertical.

En $-\infty$ manda el primer trozo, donde numerador y denominador tienen el mismo grado.

$\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x}{2x-1}=\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{2}$

La recta $y=\dfrac{1}{2}$ es asíntota horizontal cuando $x\to-\infty$, y por haberla no hay oblicua en ese lado.

En $+\infty$ manda el segundo trozo, cuyo numerador supera en un grado al denominador: hay asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{4x^3+x^2}{x^3-9x}=4$

$n=\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{4x^3+x^2}{x^2-9}-4x\right)=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^2+36x}{x^2-9}=1$

La recta $y=4x+1$ es asíntota oblicua cuando $x\to+\infty$.

La función tiene la asíntota vertical $x=3$, la horizontal $y=\dfrac{1}{2}$ por la izquierda y la oblicua $y=4x+1$ por la derecha.