Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Ejercicio 3 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 3.1 o 3.2.

Pregunta 3.1. Considere la función real de variable real

$f(x) = x(x^2+a),$

donde $a>0$ es un parámetro real.

3.1.a) (1 punto) Calcule el valor de $a$ para que la primitiva de $f(x)$, $F(x)$, cumpla que $F(0)=0$ y $F(1)=1$.

3.1.b) (0,5 puntos) Para $a=\dfrac{3}{2}$, obtenga el área del recinto delimitado por $f(x)$, el eje horizontal y las rectas verticales $x=0$ y $x=2$.

3.1.c) (1 punto) Halle los valores de $a$ que hacen que la pendiente de la recta tangente a $f(x)$ en el punto $x=1$ sea $1$.

$\textbf{3.1.a) Calcule el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que la primitiva de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, } \boldsymbol{F(x)}\textbf{, cumpla que } \boldsymbol{F(0)=0}\textbf{ y } \boldsymbol{F(1)=1}\textbf{. (1 punto)}$

Desarrollamos el producto para integrar término a término.

$f(x)=x(x^2+a)=x^3+ax$

$F(x)=\int\left(x^3+ax\right)dx=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{ax^2}{2}+C$

Imponemos las dos condiciones, que fijan primero la constante y después el parámetro.

$F(0)=C=0$

$F(1)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{a}{2}=1 \Rightarrow \dfrac{a}{2}=\dfrac{3}{4} \Rightarrow a=\dfrac{3}{2}$

El valor obtenido es positivo, así que es compatible con la condición $a>0$ del enunciado, y la primitiva queda $F(x)=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{3x^2}{4}$.

$\textbf{3.1.b) Para } \boldsymbol{a=\frac{3}{2}}\textbf{, obtenga el área del recinto delimitado por } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, el eje horizontal y las rectas verticales } \boldsymbol{x=0}\textbf{ y } \boldsymbol{x=2}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Antes de integrar comprobamos el signo de la función en el intervalo, porque el área es la integral del valor absoluto.

$f(x)=x^3+\dfrac{3}{2}x\ge 0 \quad \text{para todo } x\ge 0$

Los dos sumandos son no negativos en $[0,2]$, así que la curva no cruza el eje y el área es directamente la integral definida. Haciendo uso de la regla de Barrow con la primitiva anterior:

$\text{Área}=\int_0^2 f(x)\,dx=F(2)-F(0)=\dfrac{2^4}{4}+\dfrac{3\cdot 2^2}{4}$

$\text{Área}=4+3=7$

El área del recinto es de 7 unidades de área.



$\textbf{3.1.c) Halle los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ que hacen que la pendiente de la recta tangente a } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{x=1}\textbf{ sea } \boldsymbol{1}\textbf{. (1 punto)}$

La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en ese punto.

$f'(x)=3x^2+a$

$f'(1)=3+a$

$3+a=1 \Rightarrow a=-2$

El único valor que hace la pendiente igual a 1 es $a=-2$, que no cumple la condición $a>0$ del enunciado. Dentro del dominio permitido no existe ninguna solución, pues con $a>0$ se tiene siempre $f'(1)=3+a>3$.