Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Ejercicio 2 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 2.1 o 2.2.

Pregunta 2.2. Sean $x$ e $y$ dos números reales tales que

$x\ge -6, \quad y\ge 0, \quad -x+y\le 8, \quad x+4y\le 12, \quad x+y\le 6.$

2.2.a) (2 puntos) Represente gráficamente la región $S$ determinada por las restricciones y calcule las coordenadas de sus vértices.

2.2.b) (0,5 puntos) Se desea maximizar el doble de $y$ menos el triple de $x$ en $S$. Indique el valor máximo y el punto de la región en el cual se alcanza.

$\textbf{2.2.a) Represente gráficamente la región } \boldsymbol{S}\textbf{ determinada por las restricciones y calcule las coordenadas de sus vértices. (2 puntos)}$

Cada restricción es un semiplano y la región $S$ es la intersección de los cinco. Los vértices son los puntos donde se cortan dos rectas frontera consecutivas del contorno.

$\begin{cases}x=-6 \\ y=0\end{cases} \Rightarrow A(-6,0)$

$\begin{cases}x=-6 \\ -x+y=8\end{cases} \Rightarrow y=8-6=2 \Rightarrow B(-6,2)$

$\begin{cases}-x+y=8 \\ x+4y=12\end{cases} \Rightarrow x+4(8+x)=12 \Rightarrow 5x=-20 \Rightarrow C(-4,4)$

$\begin{cases}x+4y=12 \\ x+y=6\end{cases} \Rightarrow 3y=6 \Rightarrow y=2 \Rightarrow D(4,2)$

$\begin{cases}x+y=6 \\ y=0\end{cases} \Rightarrow E(6,0)$

Comprobamos uno de ellos en las restricciones que no lo definen, por ejemplo $C(-4,4)$: $-4\ge -6$, $4\ge 0$ y $-4+4=0\le 6$. Los cinco puntos las cumplen todas.

La región $S$ es el pentágono de vértices $A(-6,0)$, $B(-6,2)$, $C(-4,4)$, $D(4,2)$ y $E(6,0)$.



$\textbf{2.2.b) Se desea maximizar el doble de } \boldsymbol{y}\textbf{ menos el triple de } \boldsymbol{x}\textbf{ en } \boldsymbol{S}\textbf{. Indique el valor máximo y el punto de la región en el cual se alcanza. (0,5 puntos)}$

Traducimos el enunciado a una función objetivo lineal. La región es cerrada y acotada, de modo que el máximo se alcanza en un vértice y basta evaluarla en los cinco.

$f(x,y)=2y-3x$

$f(A)=0+18=18$

$f(B)=4+18=22$

$f(C)=8+12=20$

$f(D)=4-12=-8$

$f(E)=0-18=-18$

El valor máximo es $22$ y se alcanza en el vértice $B(-6,2)$.