Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Ejercicio 2 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 2.1 o 2.2.

Pregunta 2.1. Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$:

$\left\{\begin{array}{rcl} x+y+z &=& 2 \\ 2x-y+z &=& 3 \\ (a+1)x+az &=& 5 \end{array}\right.$

2.1.a) (1,25 puntos) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro real $a$.

2.1.b) (1,25 puntos) Resuelva el sistema para $a=2$.

$\textbf{2.1.a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro real } \boldsymbol{a}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Escribimos la matriz de coeficientes y discutimos por el teorema de Rouché-Frobenius. El valor que anula el determinante separa los casos.

$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ a+1 & 0 & a\end{pmatrix}$

$|A|=1(-a-0)-1\left(2a-(a+1)\right)+1\left(0+(a+1)\right)=-a-a+1+a+1=2-a$

$|A|=0 \Rightarrow a=2$

Si $a\neq 2$, entonces $|A|\neq 0$ y $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Si $a=2$, la tercera fila es la suma de las dos primeras, y el término independiente cumple la misma relación.

$(1,1,1)+(2,-1,1)=(3,0,2), \qquad 2+3=5$

La tercera ecuación es redundante, así que $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

El sistema es compatible determinado para todo $a\neq 2$ y compatible indeterminado para $a=2$.

$\textbf{2.1.b) Resuelva el sistema para } \boldsymbol{a=2}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Para $a=2$ la tercera ecuación sobra y el sistema se queda con dos ecuaciones y tres incógnitas, así que se resuelve dejando una libre.

$\begin{cases}x+y+z=2 \\ 2x-y+z=3\end{cases}$

Tomamos $z=\lambda$ como parámetro y sumamos las dos ecuaciones para eliminar $y$.

$\begin{cases}x+y=2-\lambda \\ 2x-y=3-\lambda\end{cases} \Rightarrow 3x=5-2\lambda \Rightarrow x=\dfrac{5-2\lambda}{3}$

$y=2-\lambda-\dfrac{5-2\lambda}{3}=\dfrac{6-3\lambda-5+2\lambda}{3}=\dfrac{1-\lambda}{3}$

$(x,y,z)=\left(\dfrac{5-2\lambda}{3}\,,\,\dfrac{1-\lambda}{3}\,,\,\lambda\right), \qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Para $a=2$ el sistema tiene infinitas soluciones, una por cada valor real de $\lambda$; por ejemplo, con $\lambda=0$ se obtiene $\left(\dfrac{5}{3},\dfrac{1}{3},0\right)$, que verifica las dos ecuaciones.