Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Ejercicio 1 (2,5 puntos). Responda los dos apartados. Este ejercicio no tiene opcionalidad.

La empresa tecnológica Pear acaba de lanzar la nueva versión para 2025 de su smartphone insignia, el P25. En la red social Rettiwt se ha generado una alta expectación y los primeros compradores del P25 han comenzado a publicar fotos con sus dispositivos y sus opiniones. La mayoría de estas opiniones son positivas, pero hay una minoría de usuarios que reporta un calentamiento excesivo del P25 que genera en pantalla el mensaje de aviso "El P25 necesita enfriarse para poder usarlo".

Con el objetivo de recabar más información para su próximo vídeo, el youtuber @solo_reviews ha abierto un hilo para solicitar a los compradores verificados del P25 que reporten si han experimentado o no sobrecalentamiento repentino en sus smartphones, entendiendo este como el que origina el aviso en condiciones normales de uso. Un total de 288 compradores verificados responden en el hilo, de los cuales 20 reportan haber visto el mensaje de enfriamiento necesario en condiciones de uso normales. Dado el perfil de los seguidores de @solo_reviews, se asume que esta es una muestra aleatoria simple.

Ante el ruido generado en las redes sociales, la empresa Pear lanza el siguiente comunicado en Rettiwt: "En Pear aclaramos: no hay problemas generalizados en nuestro nuevo P25. El sobrecalentamiento afecta al 2% de dispositivos al estar exclusivamente limitado a un lote defectuoso de un proveedor. Estamos contactando a los clientes afectados para ofrecer una solución inmediata. #PearSupport #P25"

1.a) (1,25 puntos) Asumiendo que el comunicado de Pear es cierto, calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que el número de smartphones defectuosos reportados en el hilo de @solo_reviews hubiese sido superior o igual a 11.

1.b) (1,25 puntos) Obtenga un intervalo del 99% de confianza para la proporción de smartphones defectuosos a partir del hilo de @solo_reviews. ¿Es cuestionable la veracidad del comunicado de Pear?

$\textbf{1.a) Asumiendo que el comunicado de Pear es cierto, calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que el número de smartphones defectuosos reportados en el hilo hubiese sido superior o igual a 11. (1,25 puntos)}$

Sea $Y$ el número de smartphones con sobrecalentamiento entre los 288 del hilo. Si el comunicado es cierto, cada uno lo sufre con probabilidad $0{,}02$ e independientemente de los demás, así que se trata de una binomial.

$Y\sim B(288\,;\,0{,}02)$

$\mu=np=288\cdot 0{,}02=5{,}76$

$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{288\cdot 0{,}02\cdot 0{,}98}=\sqrt{5{,}6448}\approx 2{,}3759$

Como $np>5$ y $nq>5$, se puede aproximar la binomial por una normal.

$Y\approx N(5{,}76\,;\,2{,}3759)$

Al pasar de la variable discreta a la continua aplicamos la corrección de continuidad, restando $0{,}5$ al valor 11.

$P(Y\ge 11)\approx P\left(Z\ge\dfrac{11-5{,}76-0{,}5}{2{,}3759}\right)=P(Z\ge 1{,}9951)$

$P(Z\ge 2)=1-P(Z<2)=1-0{,}9772=0{,}0228$

Si el comunicado de Pear fuera cierto, la probabilidad de haber recogido 11 o más casos en el hilo sería de solo $0{,}0228$: un suceso poco probable, aunque no imposible.

$\textbf{1.b) Obtenga un intervalo del 99 \% de confianza para la proporción de smartphones defectuosos a partir del hilo. ¿Es cuestionable la veracidad del comunicado de Pear? (1,25 puntos)}$

La proporción muestral es la que se observa en el hilo, y con ella construimos el intervalo de confianza para una proporción.

$\hat{p}=\dfrac{20}{288}\approx 0{,}0694, \qquad n=288$

$1-\alpha=0{,}99 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}005 \Rightarrow \Phi(z_{\alpha/2})=0{,}995 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}575$

$E=2{,}575\sqrt{\dfrac{0{,}0694\cdot 0{,}9306}{288}}=2{,}575\cdot 0{,}0150\approx 0{,}0386$

$IC_{99\%}(p)=(0{,}0694-0{,}0386\ ,\ 0{,}0694+0{,}0386)=(0{,}0308\ ,\ 0{,}1080)$

Con una confianza del 99 %, la proporción real de dispositivos afectados está entre el 3,08 % y el 10,80 %. El 2 % que afirma el comunicado queda por debajo del extremo inferior del intervalo, así que su veracidad sí es cuestionable: los datos del hilo apuntan a una proporción bastante mayor.