Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Ejercicio 4 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 4.1 o 4.2.

Pregunta 4.2. De tres sucesos $A$, $B$ y $C$ se sabe que $A$ y $C$ son sucesos disjuntos, $A$ y $B$ son independientes y se tienen las siguientes probabilidades: $P(A)=0{,}25$, $P(B)=0{,}2$ y $P(B\cap C)=0{,}05$.

4.2.a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que ocurra al menos uno de los sucesos $A$ o $B$.

4.2.b) (1 punto) Calcule $P(\overline{B}\cup\overline{C})$.

4.2.c) (0,5 puntos) ¿Pueden ser independientes los sucesos $A$ y $C$?

$\textbf{4.2.a) Calcule la probabilidad de que ocurra al menos uno de los sucesos } \boldsymbol{A}\textbf{ o } \boldsymbol{B}\textbf{. (1 punto)}$

Antes de nada traducimos las dos hipótesis del enunciado. Que $A$ y $C$ sean disjuntos significa que no pueden ocurrir a la vez, y que $A$ y $B$ sean independientes permite calcular su intersección como producto.

$P(A\cap C)=0$

$P(A\cap B)=P(A)P(B)=0{,}25\cdot 0{,}2=0{,}05$

Que ocurra al menos uno de los dos es su unión, y aplicamos la fórmula correspondiente.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}25+0{,}2-0{,}05$

$P(A\cup B)=0{,}4$

La probabilidad de que ocurra al menos uno de los sucesos $A$ o $B$ es $0{,}4$.

$\textbf{4.2.b) Calcule } \boldsymbol{P(\overline{B}\cup\overline{C})}\textbf{. (1 punto)}$

La unión de los contrarios es el contrario de la intersección, por las leyes de De Morgan, y del enunciado conocemos precisamente esa intersección.

$\overline{B}\cup\overline{C}=\overline{B\cap C}$

$P(\overline{B}\cup\overline{C})=1-P(B\cap C)=1-0{,}05$

$P(\overline{B}\cup\overline{C})=0{,}95$

La probabilidad pedida es $0{,}95$.

$\textbf{4.2.c) ¿Pueden ser independientes los sucesos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{? (0,5 puntos)}$

Primero acotamos $P(C)$ por debajo, porque la respuesta depende de que no sea nula.

$P(C)=P(B\cap C)+P(\overline{B}\cap C)\ge 0{,}05>0$

Si fueran independientes tendría que cumplirse $P(A\cap C)=P(A)P(C)$, pero por ser disjuntos el primer miembro es cero y el segundo no.

$P(A\cap C)=0, \qquad P(A)P(C)=0{,}25\cdot P(C)\ge 0{,}0125>0$

Los sucesos $A$ y $C$ no pueden ser independientes: dos sucesos disjuntos de probabilidad no nula nunca lo son, porque saber que ha ocurrido uno hace imposible el otro.