Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Ejercicio 3 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 3.1 o 3.2.

Para poder participar en el concurso "Mejor Jabón Artesano del año" es necesario pasar un control de calidad muy exigente.

Pregunta 3.2. El peso de las pastillas de jabón de este artesano se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ gramos y desviación típica 30 gramos.

3.2.a) (1,25 puntos) La empresa organizadora del concurso seleccionó 140 pastillas de jabón de este artesano y obtuvo que el peso total fue de 17500 gramos. Obtenga un intervalo de confianza del 99% para estimar el peso medio $\mu$ de las pastillas de jabón de este artesano.

3.2.b) (1,25 puntos) Si el verdadero valor de $\mu$ fuera igual a 100 gramos, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso medio de 64 pastillas de jabón de una muestra aleatoria simple fuera superior a 110 gramos?

$\textbf{3.2.a) La empresa organizadora seleccionó 140 pastillas y obtuvo que el peso total fue de 17500 gramos. Obtenga un intervalo de confianza del 99 \% para estimar el peso medio } \boldsymbol{\mu}\textbf{. (1,25 puntos)}$

La población es normal con desviación típica conocida, $X\sim N(\mu\,;\,30)$, así que el intervalo de confianza para la media es el habitual. Empezamos por la media muestral.

$\bar{x}=\dfrac{17500}{140}=125 \text{ gramos}$

$1-\alpha=0{,}99 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}005 \Rightarrow \Phi(z_{\alpha/2})=0{,}995 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}575$

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}575\cdot\dfrac{30}{\sqrt{140}}=\dfrac{77{,}25}{11{,}832}\approx 6{,}53$

$IC_{99\%}(\mu)=(125-6{,}53\ ,\ 125+6{,}53)=(118{,}47\ ,\ 131{,}53)$

Con una confianza del 99 %, el peso medio de las pastillas de este artesano está entre 118,47 y 131,53 gramos.



$\textbf{3.2.b) Si el verdadero valor de } \boldsymbol{\mu}\textbf{ fuera igual a 100 gramos, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso medio de 64 pastillas de una muestra aleatoria simple fuera superior a 110 gramos? (1,25 puntos)}$

La media de una muestra de tamaño 64 extraída de una población normal es también normal, con la desviación típica dividida por la raíz del tamaño.

$\overline{X}\sim N\left(100,\dfrac{30}{\sqrt{64}}\right)=N(100\,;\,3{,}75)$

Tipificamos y acudimos a la tabla.

$P(\overline{X}>110)=P\left(Z>\dfrac{110-100}{3{,}75}\right)=P(Z>2{,}67)$

$P(Z>2{,}67)=1-P(Z\le 2{,}67)=1-0{,}9962=0{,}0038$

La probabilidad de que el peso medio de esas 64 pastillas superase los 110 gramos es de solo 0,0038, es decir, un suceso muy improbable.