Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Ejercicio 3 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 3.1 o 3.2.

Para poder participar en el concurso "Mejor Jabón Artesano del año" es necesario pasar un control de calidad muy exigente.

Pregunta 3.1. Un maestro jabonero sabe que el 90% de sus pastillas de jabón hechas a mano pasarían sin problemas este control de calidad.

3.1.a) (1 punto) La empresa organizadora del concurso elegirá en el taller de cada participante una muestra aleatoria simple de pastillas de jabón para obtener una estimación de la proporción de ellas que superan el control de calidad. Suponiendo cierta la creencia del maestro jabonero sobre la calidad de sus pastillas, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra de pastillas de jabón que la empresa organizadora debe tomar en el taller de este artesano para garantizar, con un nivel de confianza del 95%, que el margen de error en la estimación sea inferior al 5%.

3.1.b) (1,5 puntos) Si finalmente la organización decide seleccionar una muestra aleatoria simple de 140 pastillas de jabón de este artesano, calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que al menos 120 pastillas de jabón superen el control de calidad.

$\textbf{3.1.a) Determine el tamaño mínimo necesario de la muestra de pastillas de jabón para garantizar, con un nivel de confianza del 95 \%, que el margen de error en la estimación sea inferior al 5 \%. (1 punto)}$

Tomamos la creencia del maestro jabonero como valor de la proporción, $p=0{,}90$ y $q=0{,}10$, y buscamos el valor crítico en la tabla de la normal estándar.

$1-\alpha=0{,}95 \Rightarrow \Phi(z_{\alpha/2})=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$

El margen de error de la estimación de una proporción es $E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{pq}{n}}$. Imponemos que sea inferior a 0,05 y despejamos.

$1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}90\cdot 0{,}10}{n}}<0{,}05 \Rightarrow n>\dfrac{1{,}96^2\cdot 0{,}09}{0{,}05^2}$

$n>\dfrac{3{,}8416\cdot 0{,}09}{0{,}0025}=138{,}30$

El tamaño de la muestra es un número entero estrictamente mayor que ese valor, así que habría que tomar como mínimo 139 pastillas de jabón.

$\textbf{3.1.b) Si finalmente la organización decide seleccionar una muestra aleatoria simple de 140 pastillas, calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que al menos 120 pastillas superen el control de calidad. (1,5 puntos)}$

Sea $X$ el número de pastillas, de las 140, que superan el control. Cada una lo supera con probabilidad 0,90 con independencia de las demás, luego se trata de una binomial.

$X\sim B(140\,;\,0{,}90)$

$\mu=np=140\cdot 0{,}90=126, \qquad \sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{12{,}6}\approx 3{,}55$

Como $np=126>5$ y $nq=14>5$, se puede aproximar la binomial por una normal.

$Y\sim N(126\,;\,3{,}55)$

Al pasar de una variable discreta a una continua aplicamos la corrección de continuidad, sustituyendo 120 por 119,5.

$P(X\ge 120)\approx P\left(Z\ge\dfrac{119{,}5-126}{3{,}55}\right)=P(Z\ge -1{,}83)$

Por la simetría de la campana:

$P(Z\ge -1{,}83)=P(Z\le 1{,}83)=0{,}9664$

La probabilidad de que al menos 120 de las 140 pastillas superen el control de calidad es de $0{,}9664$.