Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Ejercicio 2 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 2.1 o 2.2.

Pregunta 2.2. Se considera la función real de variable real dada por la siguiente expresión: $f(x) = e^x(-x^2+3)$.

2.2.a) (1,25 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y clasifique, si procede, sus extremos relativos.

2.2.b) (1,25 puntos) Halle el valor de la integral definida

$\displaystyle\int_1^2 \dfrac{f(x)}{xe^x}\, dx$

$\textbf{2.2.a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y clasifique, si procede, sus extremos relativos. (1,25 puntos)}$

La función es producto de una exponencial y un polinomio, así que es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$. Derivamos aplicando la regla del producto y sacamos factor común.

$f'(x)=e^x(-x^2+3)+e^x(-2x)=e^x\left(-x^2-2x+3\right)$

Como $e^x>0$ siempre, el signo de la derivada es el del paréntesis.

$-x^2-2x+3=0 \Rightarrow x^2+2x-3=0 \Rightarrow (x+3)(x-1)=0$

$x=-3, \qquad x=1$

Se hace un estudio de signos: la parábola $x^2+2x-3$ es negativa entre sus raíces, y en la derivada aparece con el signo cambiado.

$\begin{array}{c|ccc} & (-\infty,-3) & (-3,1) & (1,+\infty) \\ \hline f'(x) & - & + & - \end{array}$

La función decrece en $(-\infty,-3)$ y en $(1,+\infty)$, y crece en $(-3,1)$.



En $x=-3$ la función pasa de decrecer a crecer y en $x=1$ de crecer a decrecer, así que evaluamos para dar los extremos.

$f(-3)=e^{-3}(-9+3)=-6e^{-3}\approx -0{,}30$

$f(1)=e(-1+3)=2e\approx 5{,}44$

Hay un mínimo relativo en $(-3,-6e^{-3})$ y un máximo relativo en $(1,2e)$.

$\textbf{2.2.b) Halle el valor de la integral definida } \boldsymbol{\int_1^2 \frac{f(x)}{xe^x}\,dx}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Conviene simplificar el integrando antes de buscar la primitiva, porque la exponencial se cancela.

$\dfrac{f(x)}{xe^x}=\dfrac{e^x(-x^2+3)}{xe^x}=\dfrac{-x^2+3}{x}=-x+\dfrac{3}{x}$

El cociente está bien definido en $[1,2]$, pues ahí $x\neq 0$. Integramos término a término.

$\int\left(-x+\dfrac{3}{x}\right)dx=-\dfrac{x^2}{2}+3\ln|x|+C$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$\int_1^2\dfrac{f(x)}{xe^x}\,dx=\left[-\dfrac{x^2}{2}+3\ln|x|\right]_1^2=(-2+3\ln 2)-\left(-\dfrac{1}{2}+0\right)$

$=-\dfrac{3}{2}+3\ln 2\approx 0{,}5794$

El valor de la integral definida es $-\dfrac{3}{2}+3\ln 2\approx 0{,}5794$.