Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Ejercicio 2 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 2.1 o 2.2.

Pregunta 2.1. Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2+1}{x-1} & \text{si } x\le 0 \\[2mm] \dfrac{x+a}{x+1} & \text{si } x>0 \end{cases}, \qquad a\in\mathbb{R}$

2.1.a) (1 punto) Determine el valor del parámetro real $a$ para que la función sea continua en $x=0$.

2.1.b) (1,5 puntos) Calcule las asíntotas de $f(x)$.

$\textbf{2.1.a) Determine el valor del parámetro real } \boldsymbol{a}\textbf{ para que la función sea continua en } \boldsymbol{x=0}\textbf{. (1 punto)}$

En $x=0$ cambia la definición de la función, así que imponemos que el valor y los dos límites laterales coincidan.

$f(0)=\dfrac{0^2+1}{0-1}=-1$

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\dfrac{0^2+1}{0-1}=-1$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\dfrac{0+a}{0+1}=a$

$a=-1$

La función es continua en $x=0$ únicamente para $a=-1$.

$\textbf{2.1.b) Calcule las asíntotas de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Empezamos por las verticales, que solo pueden aparecer donde se anula un denominador dentro del trozo en el que ese denominador actúa.

$x-1=0 \Rightarrow x=1 \notin (-\infty,0], \qquad x+1=0 \Rightarrow x=-1 \notin (0,+\infty)$

Ninguno de los dos valores cae en su propio trozo, y el dominio es todo $\mathbb{R}$, así que la función no tiene asíntotas verticales.

Estudiamos el comportamiento en $+\infty$, donde manda el segundo trozo con $a=-1$.

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x-1}{x+1}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}=1$

La recta $y=1$ es asíntota horizontal cuando $x\to+\infty$.

En $-\infty$ manda el primer trozo, cuyo numerador supera en un grado al denominador: no hay asíntota horizontal pero sí oblicua, $y=mx+n$.

$m=\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^2+1}{x(x-1)}=\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^2+1}{x^2-x}=1$

$n=\lim_{x\to -\infty}\left(\dfrac{x^2+1}{x-1}-x\right)=\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x+1}{x-1}=1$

La recta $y=x+1$ es asíntota oblicua cuando $x\to-\infty$.

La función no tiene asíntotas verticales; tiene la asíntota horizontal $y=1$ por la derecha y la oblicua $y=x+1$ por la izquierda.