Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Ejercicio 1 (2,5 puntos). Responda los dos apartados. Este ejercicio no tiene opcionalidad.

El dueño de una frutería quiere alquilar una cámara frigorífica para la campaña de sandías del verano. Entre las diferentes cámaras que puede alquilar cercanas a su frutería, la que más le convence es una que tiene capacidad para guardar 2700 kilos de sandía que es, según sus datos de años anteriores, la cantidad de kilos que vende cualquier semana de la campaña. Las sandías que vende son de tres variedades: sandía verde rayada, sandía negra sin pepitas y sandía negra con pepitas. La sandía rayada es la menos apreciada por su clientela, por ello decide ponerle el precio más bajo y la venderá a 1,25 euros el kilo. Las sandías negras son las más demandadas entre su clientela, pero entre estas dos variedades es más fácil vender la variedad sin pepitas. Por esta razón, determina que el precio de la sandía negra sin pepitas sea de 2,75 euros el kilo y el precio con pepitas de 2,25 euros el kilo.

El dueño de la frutería quiere que, en cualquier circunstancia, el número de kilos de sandía negra con pepitas vendidos sea un tercio del total de kilos de sandías sin pepitas y sandías rayadas.

1.a) (1,25 puntos) El frutero considera que para poder pagar el alquiler y obtener beneficio, debe recaudar de la venta 5400 euros cualquier semana de la campaña. Si se venden todas las sandías almacenadas para la semana, ¿cuántos kilos debería vender de cada variedad para recaudar exactamente ese importe?

1.b) (1,25 puntos) Con la idea de simplificar el etiquetado, el frutero necesita saber si es posible poner el mismo precio a todas las variedades de sandías y seguir recaudando 5400 euros a la semana vendiendo los 2700 kilos. Si fuera posible, ¿cuál sería el precio de venta del kilo de sandía?, ¿cuál sería la cantidad de kilos de cada variedad que debería vender? Justifique si dichas cantidades serían únicas.

$\textbf{1.a) El frutero considera que para poder pagar el alquiler y obtener beneficio, debe recaudar de la venta 5400 euros cualquier semana de la campaña. Si se venden todas las sandías almacenadas para la semana, ¿cuántos kilos debería vender de cada variedad para recaudar exactamente ese importe? (1,25 puntos)}$

Llamamos $x$ a los kilos de sandía rayada, $y$ a los de sandía negra con pepitas y $z$ a los de sandía negra sin pepitas, y traducimos a ecuaciones las tres condiciones del enunciado.

La cámara se vacía cada semana, así que el total vendido son los 2700 kg de su capacidad.

$x+y+z=2700$

Los kilos con pepitas han de ser un tercio del resto, $y=\dfrac{1}{3}(x+z)$.

$x-3y+z=0$

La recaudación, a 1,25 €/kg la rayada, 2,25 €/kg la de pepitas y 2,75 €/kg la sin pepitas, debe ser de 5400 €.

$1{,}25x+2{,}25y+2{,}75z=5400$

$\begin{cases}x+y+z=2700 \\ x-3y+z=0 \\ 1{,}25x+2{,}25y+2{,}75z=5400\end{cases}$

Restando la segunda ecuación de la primera desaparecen $x$ y $z$ a la vez, lo que resuelve de golpe una incógnita.

$4y=2700 \Rightarrow y=675 \Rightarrow x+z=2025$

Sustituimos $y=675$ en la tercera ecuación y despejamos.

$1{,}25x+2{,}75z=5400-1518{,}75=3881{,}25$

$1{,}25(2025-z)+2{,}75z=3881{,}25 \Rightarrow 1{,}5z=1350 \Rightarrow z=900$

$x=2025-900=1125$

Para recaudar exactamente 5400 euros debería vender 1125 kg de sandía rayada, 675 kg de sandía negra con pepitas y 900 kg de sandía negra sin pepitas.

$\textbf{1.b) ¿Es posible poner el mismo precio a todas las variedades y seguir recaudando 5400 euros vendiendo los 2700 kilos? ¿Cuál sería el precio? ¿Y las cantidades? Justifique si serían únicas. (1,25 puntos)}$

Si las tres variedades se venden al mismo precio $p$, la recaudación solo depende del total de kilos, no del reparto.

$2700p=5400 \Rightarrow p=2 \text{ €/kg}$

Sí es posible, con un precio único de 2 euros el kilo. Ahora bien, con ese precio la tercera ecuación se convierte en $2(x+y+z)=5400$, que es la primera multiplicada por 2: deja de aportar información y el sistema se queda con dos ecuaciones y tres incógnitas.

$\begin{cases}x+y+z=2700 \\ x-3y+z=0\end{cases} \Rightarrow 4y=2700 \Rightarrow y=675$

$x+z=2025 \Rightarrow x=2025-z, \quad 0\le z\le 2025$

El sistema es compatible indeterminado, así que las cantidades no son únicas: habría que vender 675 kg de sandía negra con pepitas y repartir los 2025 kg restantes entre las otras dos variedades de cualquier forma.