Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Pregunta 3.2. Dados los puntos $A(0,0,1)$ y $B(1,0,1)$, se pide:

a) (1 punto) Hallar una ecuación del plano paralelo al eje $OZ$ y que pasa por los puntos $A$ y $B$.

b) (1.5 puntos) Hallar una ecuación de una recta perpendicular al plano $z=1$ que diste una unidad tanto del punto $A$ como del punto $B$.

$\textbf{a) (1 punto) Hallar una ecuación del plano paralelo al eje } \boldsymbol{OZ}\textbf{ y que pasa por los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{.}$

Un plano paralelo al eje $OZ$ lleva la dirección $(0,0,1)$; si además pasa por $A$ y $B$, lleva también la de $\overrightarrow{AB}$. Su vector normal es el producto vectorial de las dos.

$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times(0,0,1)=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}=(0,-1,0)$

Imponemos que pase por $A(0,0,1)$.

$-1\,(y-0)=0 \Rightarrow y=0$

El plano pedido es $y=0$, es decir, el plano $OXZ$, que contiene efectivamente a los dos puntos y al eje $OZ$.

$\textbf{b) (1,5 puntos) Hallar una ecuación de una recta perpendicular al plano } \boldsymbol{z=1}\textbf{ que diste una unidad tanto del punto } \boldsymbol{A}\textbf{ como del punto } \boldsymbol{B}\textbf{.}$

Una recta perpendicular al plano $z=1$ tiene por director su normal, $(0,0,1)$, así que queda determinada por el punto en que lo corta.

$r\equiv (x,y,z)=(x_0,\,y_0,\,\lambda),\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Como $A$ y $B$ están justamente en el plano $z=1$, sus distancias a $r$ se miden dentro de ese plano y se reducen a distancias entre puntos. Lo comprobamos con la fórmula general.

$d(A,r)=\dfrac{\left|\vec v\times\overrightarrow{PA}\right|}{\left|\vec v\right|}=\sqrt{x_0^2+y_0^2}=1$

$d(B,r)=\sqrt{(x_0-1)^2+y_0^2}=1$

Restamos las dos ecuaciones elevadas al cuadrado, con lo que desaparece $y_0$.

$(x_0-1)^2-x_0^2=0 \Rightarrow -2x_0+1=0 \Rightarrow x_0=\dfrac{1}{2}$

$y_0^2=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \Rightarrow y_0=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$



Hay dos rectas que cumplen lo pedido, simétricas respecto del plano $y=0$; basta dar una de ellas.

$r_1\equiv\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,\lambda\right),\qquad r_2\equiv\left(\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,\lambda\right)$