Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

Pregunta 2. Un agricultor dispone de 120 metros de valla para delimitar una parcela con forma de pentágono. Los vértices del pentágono se nombrarán consecutivamente como $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$. Se sabe que $A$, $B$, $D$ y $E$ forman un rectángulo, y que el punto $C$ se encuentra en el exterior de este rectángulo, formando un triángulo equilátero con los puntos $B$ y $D$.

¿A qué distancia del vértice $A$ el agricultor debe ubicar los vértices $B$ y $E$ si quiere que la parcela tenga la mayor área posible?

$\textbf{Pregunta 2. (2,5 puntos) ¿A qué distancia del vértice } \boldsymbol{A}\textbf{ el agricultor debe ubicar los vértices } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{E}\textbf{ si quiere que la parcela tenga la mayor área posible?}$










Llamamos $x$ a la distancia de $A$ a $B$ e $y$ a la de $A$ a $E$. Como $ABDE$ es un rectángulo, el lado $BD$ también mide $y$, y al ser $BCD$ equilátero sus tres lados miden $y$.

La valla recorre el contorno del pentágono, así que su longitud es la suma de los cinco lados.





$2x+3y=120 \Rightarrow x=\dfrac{120-3y}{2}$

Las dos medidas han de ser positivas, y eso acota el dominio de la variable.

$y>0\ \text{y}\ x>0 \Rightarrow y\in(0,40)$

El área de la parcela es la del rectángulo más la del triángulo equilátero de lado $y$.

$A(y)=xy+\dfrac{\sqrt{3}}{4}y^2=y\,\dfrac{120-3y}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}y^2$

Derivamos e igualamos a cero para localizar el extremo.

$A'(y)=60-\left(3-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)y=0 \Rightarrow y_0=\dfrac{120}{6-\sqrt{3}}=\dfrac{40}{11}\left(6+\sqrt{3}\right)$

$y_0\approx 28{,}117$

La derivada es una recta de pendiente negativa: es positiva antes de $y_0$ y negativa después, de modo que ahí hay un máximo, y es absoluto en $(0,40)$ porque $6+\sqrt{3}<11$ garantiza que $y_0$ cae dentro del intervalo.

$x=\dfrac{120-3y_0}{2}=\dfrac{60}{11}\left(5-\sqrt{3}\right)\approx 17{,}825$

Para que la parcela tenga el área máxima, el agricultor debe situar $B$ a unos $17{,}825$ metros de $A$ y $E$ a unos $28{,}117$ metros de $A$.