Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Pregunta 1.1. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$:

$\begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ k+1 & 1 & -k \\ 1 & k+1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 2k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Se pide:

a) (1.5 puntos) Discutir el sistema en función de los valores de $k$.

b) (1 punto) Resolver el sistema para $k = 0$.

Antes de discutir nada escribimos el sistema en la forma habitual, pasando la columna de términos independientes al segundo miembro.

$\begin{cases}kx+y+z=0\\ (k+1)x+y-kz=k\\ x+(k+1)y=2k\end{cases}$

$\textbf{a) (1,5 puntos) Discutir el sistema en función de los valores de } \boldsymbol{k}\textbf{.}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$|A|=\begin{vmatrix}k & 1 & 1\\ k+1 & 1 & -k\\ 1 & k+1 & 0\end{vmatrix}=k(k+1)^2$

$|A|=0 \Rightarrow k=0\ \text{o}\ k=-1$

Para cualquier otro valor el rango de la matriz de coeficientes es 3, y el de la ampliada no puede ser mayor, luego coincide con el número de incógnitas.

$k\neq 0\ \text{y}\ k\neq -1 \Rightarrow \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3=n\ \text{incógnitas} \Rightarrow \text{compatible determinado}$

Estudiamos por separado los dos valores que anulan el determinante. Con $k=0$ el sistema queda homogéneo y la tercera fila repite la segunda.

$k=0 \Rightarrow A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\end{array}\right) \Rightarrow \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3$

Con $k=-1$ la matriz de coeficientes sigue teniendo rango 2, pero al añadir los términos independientes aparece un menor de orden tres no nulo.

$k=-1 \Rightarrow A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 0 & -2\end{array}\right) \Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2\neq 3=\operatorname{rg}(A^*)$

Resumiendo la discusión: el sistema es compatible determinado si $k\neq 0$ y $k\neq -1$; compatible indeterminado si $k=0$, e incompatible si $k=-1$.

$\textbf{b) (1 punto) Resolver el sistema para } \boldsymbol{k=0}\textbf{.}$

Con $k=0$ el sistema es homogéneo y compatible indeterminado con un grado de libertad, así que basta quedarse con las dos ecuaciones independientes.

$\begin{cases}y+z=0\\ x+y=0\end{cases}$

Tomamos $x=t$ como parámetro y despejamos las otras dos incógnitas.

$y=-t,\qquad z=-y=t$

$(x,y,z)=(t,-t,t),\quad t\in\mathbb{R}$

Las soluciones son los infinitos puntos de la recta $(t,-t,t)$; se comprueba que las tres ecuaciones se anulan para cualquier valor de $t$.