Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

PREGUNTA 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA. (2,5 puntos)

TEXTO: Misión Proba-3

La misión Prueba-3 de la Agencia Espacial Europea (ESA) tiene como objetivo crear eclipses solares artificiales en el espacio. Para eso se utilizan dos satélites, llamados Occulter y Coronagraph, que se desplazan muy bien alineados entre sí. Gracias a esta precisión, los científicos pueden observar con gran detalle la corona solar, la parte más externa del Sol, donde partículas cargadas interactúan intensamente con el campo gravitacional del Sol. Para que el experimento funcione correctamente, es fundamental calcular con alta precisión las órbitas de los satélites. Los ingenieros responsables de la Misión sitúan los satélites en una órbita elíptica alrededor de la Tierra con un apogeo a unos 60000 km de distancia y un perigeo a 600 km (medidos ambos desde la superficie terrestre). Esta configuración permite reducir la influencia de otros cuerpos celestes y crear las condiciones ideales para estudiar la corona solar sin interferencias.

1.1. Responda a estos apartados. (1 punto)

Si usted es un estudiante en prácticas y forma parte del equipo de la ESA que tiene que monitorizar el movimiento de estos satélites, debe realizar las siguientes tareas:

1. Dibujar un esquema de la órbita de uno de estos satélites indicando apogeo y perigeo.

2. Indicar en este esquema la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre el satélite.

3. Calcular la aceleración gravitatoria que experimenta el satélite en el apogeo y en el perigeo.

1.2. Indique y justifique la respuesta correcta. (0,5 puntos)

La velocidad en el apogeo será: 1. Mayor que en el perigeo; 2. Menor que en el perigeo; 3. Igual a la del perigeo.

1.3. Responda a estos dos apartados. (1 punto)

El equipo de la ESA decide hacer un nuevo experimento y por tanto debe sustituir el satélite Occulter. Para ello, en primer lugar, deben actuar para modificar la órbita del satélite para que sea una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura constante de 600 km.

a) Calcule la energía mecánica del satélite en la nueva órbita.

b) El satélite caerá posteriormente desde esa altura en el medio do océano Pacífico, ¿cuál será la velocidad con la que el satélite impactará en el agua?

Datos: $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$; $R_T = 6{,}37\times 10^6$ m; $M_T = 5{,}98\times 10^{24}$ kg, masa do Occulter = 230 kg.

$\textbf{1.1. Responda a estos apartados. (1 punto)}$

Los radios de la órbita se miden desde el centro de la Tierra, así que a las alturas del enunciado hay que sumarles el radio terrestre:

$r_a=R_T+h_a=6{,}37\cdot10^6+6{,}00\cdot10^7=6{,}637\cdot10^7\ \text{m}$

$r_p=R_T+h_p=6{,}37\cdot10^6+6{,}00\cdot10^5=6{,}97\cdot10^6\ \text{m}$










La órbita es una elipse en uno de cuyos focos está la Tierra (primera ley de Kepler). El apogeo es el punto más alejado y el perigeo el más próximo, y ambos están alineados con la Tierra.

La única fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza gravitatoria $\vec F_g$, que es central: en cualquier punto de la órbita apunta desde el satélite hacia el centro de la Tierra.





La aceleración gravitatoria coincide con la intensidad del campo gravitatorio creado por la Tierra a esa distancia:

$g=G\dfrac{M_T}{r^2}$

En el apogeo:

$g_a=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{5{,}98\cdot10^{24}}{(6{,}637\cdot10^7)^2}=9{,}05\cdot10^{-2}\ \text{m/s}^2$

En el perigeo:

$g_p=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{5{,}98\cdot10^{24}}{(6{,}97\cdot10^6)^2}=8{,}21\ \text{m/s}^2$

La aceleración en el perigeo es unas 91 veces mayor que en el apogeo, porque el campo gravitatorio decae con el cuadrado de la distancia.

$\textbf{1.2. Indique y justifique la respuesta correcta. (0,5 puntos)}$

La respuesta correcta es la 2: la velocidad en el apogeo es menor que en el perigeo.

La fuerza gravitatoria es una fuerza central, de modo que su momento respecto del centro de la Tierra es nulo y el momento angular del satélite se conserva. Esto es lo que expresa la segunda ley de Kepler.

$\vec L=\vec r\times m\vec v=\text{constante}$

En el apogeo y en el perigeo el vector posición y el vector velocidad son perpendiculares, luego:

$m\,r_a\,v_a=m\,r_p\,v_p\Rightarrow v_a=\dfrac{r_p}{r_a}\,v_p$

$v_a=\dfrac{6{,}97\cdot10^6}{6{,}637\cdot10^7}\,v_p=0{,}105\,v_p$

Como $r_a>r_p$, resulta $v_a<v_p$: la velocidad en el apogeo es menor que en el perigeo.

$\textbf{1.3. Responda a estos dos apartados. (1 punto)}$

En la nueva órbita, circular y de altura constante $h=600\ \text{km}$, el radio es:

$r=R_T+h=6{,}37\cdot10^6+6{,}00\cdot10^5=6{,}97\cdot10^6\ \text{m}$

a) La única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria y, por ser el movimiento circular uniforme, hace de fuerza centrípeta. Aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=\dfrac{m\,v^2}{r}\Rightarrow v^2=\dfrac{G\,M_T}{r}$

Por tanto, la energía cinética en la órbita es:

$E_c=\dfrac12\,m\,v^2=\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}$

Y la energía mecánica, suma de la cinética y de la potencial gravitatoria:

$E_m=E_c+E_p=\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}-\dfrac{G\,M_T\,m}{r}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}$

$E_m=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot230}{2\cdot6{,}97\cdot10^6}=-6{,}58\cdot10^9\ \text{J}$

La energía mecánica del satélite en la nueva órbita es $-6{,}58\cdot10^9\ \text{J}$. Es negativa, como corresponde a un satélite ligado al campo gravitatorio terrestre.

b) Suponemos que sobre el satélite no actúa ninguna fuerza disipativa (se desprecia el rozamiento con la atmósfera). El campo gravitatorio es conservativo, luego la energía mecánica se conserva entre la órbita y la superficie del océano:

$E_m(\text{órbita})=E_m(\text{superficie})$

$-\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}=\dfrac12\,m\,v^2-\dfrac{G\,M_T\,m}{R_T}$

Despejando la velocidad de impacto:

$v=\sqrt{2\,G\,M_T\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{2r}\right)}$

$v=\sqrt{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\left(\dfrac{1}{6{,}37\cdot10^6}-\dfrac{1}{2\cdot6{,}97\cdot10^6}\right)}$

$v=8{,}25\cdot10^3\ \text{m/s}$

El satélite impactaría en el agua a una velocidad de $8{,}25\ \text{km/s}$. En la realidad el rozamiento con la atmósfera disipa la mayor parte de esa energía y desintegra el satélite antes de llegar al mar.