Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

PREGUNTA 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA. (2,5 puntos)

TEXTO: La Estación Espacial Internacional

La Estación Espacial Internacional, EEI, es una estación espacial modular de unos 420000 kg, tan grande como un campo de fútbol: 100 m de largo y 80 m de ancho; situada en órbita circular terrestre baja, LEO (está más cerca de la Tierra que otros objetos en el espacio). En este proyecto participan las agencias espaciales: NASA (Estados Unidos), Roscosmos (Rusia), JAXA (Japón), ESA (Europa) y ASC (Canadá).

La estación sirve como un laboratorio de investigación, realizándose estudios sobre astrobiología, astronomía, meteorología, física y otros muchos campos. Científicos en la Tierra tienen acceso a los datos en tiempo real y pueden sugerir modificaciones a la tripulación.

La EEI también está capacitada para probar los sistemas y equipaciones necesarias para la realización de vuelos espaciales de larga duración, como pueden ser las misiones a la Luna y la Marte. Se podría decir que la EEI es una pequeña ciudad científica flotando en el espacio y girando alrededor de la Tierra.

Adaptado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Estación_Espacial_Internacional

1.1 Responda estos dos apartados: (1 punto)

La Estación Espacial Internacional completa, aproximadamente, dieciséis vueltas en 24 horas, girando con una celeridad de 28000 km/hora. Si usted está viajando en la EEI:

1. ¿Cada cuántas horas ve un nuevo amanecer?

2. ¿A qué altura sobre Galicia estará si pasa por su vertical?

1.2. Indique y justifique la respuesta correcta. (0,5 puntos)

Con los datos del apartado 1.1, ¿podría calcular la masa de la Tierra? ¿Es necesario algún dato adicional? 1. No, los datos del apartado 1.1 no tienen relación con la masa de la Tierra. 2. Sí, sin datos adicionales. 3. Sí, con el dato adicional de la masa de la EEI. 4. Sí, con el dato adicional de la Constante de Gravitación Universal.

1.3. Responda estos dos apartados: (1 punto)

Imagine ahora que trabaja en un equipo de la ESA y tiene que hacer los cálculos para poner la EEI en órbita desde la superficie terrestre por lo que debe:

1. Calcular la energía mecánica de la IEE en la órbita.

2. Explicar cómo determinar la energía cinética mínima necesaria que habría que comunicarle para ponerla en órbita y calcular su valor.

Datos: $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$; $R_T = 6{,}37\times 10^6$ m; $M_T = 5{,}98\times 10^{24}$ kg.

$\textbf{1.1 Responda estos dos apartados: (1 punto)}$










1. La EEI describe una órbita circular y ve un amanecer en cada vuelta completa, así que el tiempo entre dos amaneceres consecutivos es el período orbital. Si da dieciséis vueltas en 24 horas:

$T=\dfrac{24\ \text{h}}{16}=1{,}5\ \text{h}$

Un tripulante de la EEI ve un nuevo amanecer cada hora y media, es decir, cada 90 minutos.





2. Para la altura usamos que en un movimiento circular uniforme el espacio recorrido en una vuelta es la longitud de la circunferencia. Expresamos antes la celeridad en unidades del SI:

$v=28000\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}=\dfrac{28000\cdot10^3}{3600}=7{,}78\cdot10^3\ \text{m/s}$

$T=1{,}5\ \text{h}=5{,}4\cdot10^3\ \text{s}$

$v=\dfrac{2\pi r}{T}\Rightarrow r=\dfrac{v\,T}{2\pi}$

$r=\dfrac{7{,}78\cdot10^3\cdot5{,}4\cdot10^3}{2\pi}=6{,}68\cdot10^6\ \text{m}$

La altura sobre la superficie es la diferencia entre el radio de la órbita y el radio terrestre:

$h=r-R_T=6{,}68\cdot10^6-6{,}37\cdot10^6=3{,}1\cdot10^5\ \text{m}$

Cuando pase por la vertical de Galicia, la EEI estará a unos $3{,}1\cdot10^5\ \text{m}=315\ \text{km}$ de altura, lo que confirma que se trata de una órbita terrestre baja.

$\textbf{1.2. Indique y justifique la respuesta correcta. (0,5 puntos)}$

La respuesta correcta es la 4: sí, con el dato adicional de la constante de gravitación universal.

Sobre la EEI la única fuerza es la gravitatoria, que hace de fuerza centrípeta. Aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=\dfrac{m\,v^2}{r}$

La masa $m$ de la estación se simplifica —por eso el dato de la opción 3 no hace falta— y queda:

$M_T=\dfrac{v^2\,r}{G}$

Con los datos del apartado 1.1 ya conocemos $v$ y $r$, pero para despejar $M_T$ hace falta además $G$, que no es un dato del apartado 1.1. Comprobamos el cálculo:

$M_T=\dfrac{(7{,}78\cdot10^3)^2\cdot6{,}68\cdot10^6}{6{,}67\cdot10^{-11}}=6{,}06\cdot10^{24}\ \text{kg}$

El valor obtenido se aparta un 1,4 % del que da el propio enunciado, $5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$, porque los datos de partida (dieciséis vueltas al día y 28000 km/h) están redondeados y son ligeramente incompatibles entre sí.

$\textbf{1.3. Responda estos dos apartados: (1 punto)}$

La masa de la EEI es:

$m=4{,}2\cdot10^{5}\ \text{kg}$

1. En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta, de donde:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=\dfrac{m\,v^2}{r}\Rightarrow \dfrac12\,m\,v^2=\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y de la potencial gravitatoria:

$E_m=E_c+E_p=\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}-\dfrac{G\,M_T\,m}{r}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}$

$E_m=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot4{,}2\cdot10^{5}}{2\cdot6{,}68\cdot10^6}$

$E_m=-1{,}25\cdot10^{13}\ \text{J}$

La energía mecánica de la EEI en su órbita es $-1{,}25\cdot10^{13}\ \text{J}$. Es negativa porque la estación está ligada al campo gravitatorio terrestre.

2. La energía cinética mínima que hay que comunicarle en la superficie es la que hace falta para que su energía mecánica pase de la que tiene en reposo sobre la Tierra a la que tiene en la órbita. Como el campo gravitatorio es conservativo, escribimos la conservación de la energía mecánica entre la superficie y la órbita:

$E_c(\text{sup})+E_p(\text{sup})=E_m(\text{órbita})$

$E_c(\text{sup})-\dfrac{G\,M_T\,m}{R_T}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}$

$E_c(\text{sup})=G\,M_T\,m\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{2r}\right)$

$E_c(\text{sup})=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot4{,}2\cdot10^{5}\left(\dfrac{1}{6{,}37\cdot10^6}-\dfrac{1}{2\cdot6{,}68\cdot10^6}\right)$

$E_c(\text{sup})=1{,}38\cdot10^{13}\ \text{J}$

La energía cinética mínima necesaria para poner la EEI en órbita desde la superficie es $1{,}38\cdot10^{13}\ \text{J}$. Es mínima porque se ha supuesto que no hay pérdidas por rozamiento con la atmósfera y que no se aprovecha la velocidad de rotación de la Tierra.