Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Galicia · 2025

PREGUNTA 4. FÍSICA DEL SIGLO XX. (2,5 puntos)

4.1. Indique y justifique la respuesta correcta. (1 punto)

Un astronauta que viaja a una velocidad de $0{,}9c$ mide la velocidad de un rayo de luz emitido desde su nave. El resultado que obtiene es: a) $0{,}1c$; b) $c$; c) $1{,}9c$. Nota: $c$ es la velocidad de la luz.

4.2. Resuelva uno de estos dos problemas: (1,5 puntos)

4.2.1. El método de datación radiactiva ${}^{14}\text{C}$, se emplea para determinar la edad de materiales arqueológicos de origen orgánico. Se basa en el hecho de que el carbono ${}^{14}\text{C}$ presente en los seres vivos tiene un periodo de semidesintegración de 5570 años. a) Calcule la constante de desintegración del ${}^{14}\text{C}$ y su vida media. b) Un fragmento de madera encontrado en un yacimiento arqueológico presenta un contenido de ${}^{14}\text{C}$ que es el 62% del que poseen las maderas de la zona en la actualidad. Determine la antigüedad del fragmento.

4.2.2. Sobre una célula fotoeléctrica de cátodo de volframio se hace incidir una radiación monocromática de longitud de onda 0,20 μm. Calcule: a) la velocidad máxima de los electrones arrancados; b) la longitud de onda de De Broglie asociada a los electrones emitidos. Nota: $f_{\text{umbral volframio}} = 1{,}30\times 10^{15}$ Hz.

Datos: $h = 6{,}63\times 10^{-34}$ J·s; $c = 3\times 10^8\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$; $m_e = 9{,}1\times 10^{-31}$ kg.

$\textbf{4.1. Indique y justifique la respuesta correcta. (1 punto)}$

La respuesta correcta es la b): el astronauta mide $c$.

Es el segundo postulado de la teoría de la relatividad especial de Einstein: la velocidad de la luz en el vacío es la misma en todos los sistemas de referencia inerciales, con independencia del movimiento de la fuente y del observador.

$c=3\cdot10^8\ \text{m/s}$

Por eso las velocidades no se suman como en la mecánica de Galileo, y no valen ni $0{,}1c$ ni $1{,}9c$: lo que se modifica al cambiar de sistema de referencia no es la velocidad de la luz, sino las medidas de tiempo y de longitud, que se dilatan y se contraen según el factor de Lorentz.

$\textbf{4.2.1. El método de datación radiactiva } \boldsymbol{{}^{14}\text{C}}\textbf{, se emplea para determinar la edad de materiales arqueológicos de origen orgánico… (1,5 puntos)}$

a) La constante de desintegración se obtiene del período de semidesintegración. Partimos de la ley de desintegración radiactiva:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

Al cabo de un período de semidesintegración queda la mitad de los núcleos:

$\dfrac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}\Rightarrow \lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$

$\lambda=\dfrac{0{,}693}{5570}=1{,}24\cdot10^{-4}\ \text{años}^{-1}$

La vida media es el tiempo medio que tarda en desintegrarse un núcleo, y es la inversa de la constante de desintegración:

$\tau=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{1{,}24\cdot10^{-4}}=8{,}04\cdot10^{3}\ \text{años}$

La constante de desintegración del ${}^{14}\text{C}$ es $1{,}24\cdot10^{-4}\ \text{años}^{-1}$ y su vida media $8{,}04\cdot10^{3}$ años.

b) El contenido de ${}^{14}\text{C}$ es proporcional al número de núcleos sin desintegrar, así que:

$\dfrac{N}{N_0}=0{,}62$

Despejamos el tiempo de la ley de desintegración:

$0{,}62=e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln 0{,}62=-\lambda t$

$t=\dfrac{-\ln 0{,}62}{\lambda}=\dfrac{0{,}478}{1{,}24\cdot10^{-4}}$

$t=3{,}84\cdot10^{3}\ \text{años}$

La antigüedad del fragmento de madera es de unos $3{,}84\cdot10^{3}$ años. El resultado es coherente: al no haber transcurrido todavía un período de semidesintegración, queda más de la mitad del ${}^{14}\text{C}$ inicial.

$\textbf{4.2.2. Sobre una célula fotoeléctrica de cátodo de volframio se hace incidir una radiación monocromática de longitud de onda 0,20 } \boldsymbol{\mu\text{m}}\textbf{… (1,5 puntos)}$

a) Calculamos primero la frecuencia de la radiación incidente:

$\lambda=0{,}20\ \mu\text{m}=2{,}0\cdot10^{-7}\ \text{m}$

$f=\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{3\cdot10^8}{2{,}0\cdot10^{-7}}=1{,}5\cdot10^{15}\ \text{Hz}$

Como $f>f_0$, hay emisión de fotoelectrones.










Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón:

$h\,f=h\,f_0+E_{c,\text{máx}}$

$E_{c,\text{máx}}=h\,(f-f_0)$

$E_{c,\text{máx}}=6{,}63\cdot10^{-34}(1{,}5\cdot10^{15}-1{,}30\cdot10^{15})$

$E_{c,\text{máx}}=1{,}33\cdot10^{-19}\ \text{J}$





De la energía cinética se despeja la velocidad máxima:

$E_{c,\text{máx}}=\dfrac12\,m_e\,v_{\text{máx}}^2\Rightarrow v_{\text{máx}}=\sqrt{\dfrac{2\,E_{c,\text{máx}}}{m_e}}$

$v_{\text{máx}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}33\cdot10^{-19}}{9{,}1\cdot10^{-31}}}=5{,}40\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

La velocidad máxima de los electrones arrancados es $5{,}40\cdot10^{5}\ \text{m/s}$, muy inferior a la de la luz, de manera que el tratamiento clásico de la energía cinética es válido.

b) La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula es el cociente entre la constante de Planck y su cantidad de movimiento:

$\lambda_{DB}=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m_e\,v_{\text{máx}}}$

$\lambda_{DB}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot5{,}40\cdot10^{5}}=1{,}35\cdot10^{-9}\ \text{m}$

La longitud de onda de De Broglie de los electrones emitidos con velocidad máxima es $1{,}35\cdot10^{-9}\ \text{m}=1{,}35\ \text{nm}$.