Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Galicia · 2025

PREGUNTA 3. ONDAS Y ÓPTICA GEOMÉTRICA. (2,5 puntos)

3.1. Indique y justifique la respuesta correcta. (1 punto)

Al colocar un objeto a 15 cm de distancia de una lente convergente de 30 cm de distancia focal, la imagen formada es: a) real, invertida y aumentada; b) virtual, derecha y aumentada; c) real, derecha y reducida.

3.2. Resuelva uno de estos dos problemas: (1,5 puntos)

3.2.1. La función de onda de una onda armónica que se mueve en una cuerda es $y(t,x) = 4\,\mathrm{sen}\left[2\pi(50t - 0{,}20x)\right]$, donde las longitudes se expresan en metros y el tiempo en segundos. Determine: a) la longitud de onda y el período de esta onda; b) la velocidad de propagación y la velocidad máxima de cualquier segmento de la onda.

3.2.2. Se quiere obtener la aceleración de la gravedad mediante un péndulo simple a partir de las siguientes medidas. a) Represente el cuadrado del periodo frente a la longitud del péndulo. b) Determine la aceleración a partir de la gráfica.

Lonxitude do péndulo (m)	0,60	0,82	0,90	1,05 Tempo de 10 oscilacións (s)	15,6	18,2	19,1	20,5

$\textbf{3.1. Indique y justifique la respuesta correcta. (1 punto)}$

La respuesta correcta es la b): la imagen es virtual, derecha y aumentada.

El objeto está a 15 cm de la lente, es decir, entre el foco objeto (a 30 cm) y la lente. Con el criterio de signos habitual:

$s=-15\ \text{cm}\qquad f'=+30\ \text{cm}$










Aplicamos la ecuación de las lentes delgadas:

$\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}$

$\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{-15}=-\dfrac{1}{30}$

$s'=-30\ \text{cm}$

El signo negativo indica que la imagen se forma en el mismo lado que el objeto: es virtual.





El aumento lateral es:

$\beta=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{-30}{-15}=+2$

Al ser positivo, la imagen es derecha, y al ser su valor absoluto mayor que la unidad, es de doble tamaño que el objeto. Esta es precisamente la manera de usar una lente convergente como lupa. Se descarta la opción a) porque una imagen real siempre sale invertida con una sola lente convergente, y la c) porque con el objeto dentro de la focal no hay imagen real.

$\textbf{3.2.1. La función de onda de una onda armónica que se mueve en una cuerda es } \boldsymbol{y(t,x)=4\,\text{sen}\left[2\pi(50t-0{,}20x)\right]}\textbf{… (1,5 puntos)}$

Comparamos la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(t,x)=A\,\text{sen}(\omega t-kx)$

Desarrollando el paréntesis del enunciado:

$y(t,x)=4\,\text{sen}(100\pi t-0{,}40\pi x)$

Identificando términos:

$A=4\ \text{m}\qquad \omega=100\pi\ \text{rad/s}\qquad k=0{,}40\pi\ \text{rad/m}$

a) La longitud de onda y el período se obtienen del número de ondas y de la frecuencia angular:

$\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{0{,}40\pi}=5{,}0\ \text{m}$

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{100\pi}=2{,}0\cdot10^{-2}\ \text{s}$

La longitud de onda es $5{,}0\ \text{m}$ y el período $2{,}0\cdot10^{-2}\ \text{s}$, es decir, la frecuencia es de 50 Hz.

b) La velocidad de propagación de la onda es:

$v=\dfrac{\lambda}{T}=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{100\pi}{0{,}40\pi}=250\ \text{m/s}$

Cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple perpendicular a la dirección de propagación. Su velocidad es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\,\cos(\omega t-kx)$

El valor máximo se alcanza cuando el coseno vale $\pm1$:

$v_{y,\text{máx}}=A\,\omega=4\cdot100\pi=1{,}26\cdot10^3\ \text{m/s}$

La onda se propaga a $250\ \text{m/s}$ y la velocidad máxima de cualquier segmento de la cuerda es $1{,}26\cdot10^3\ \text{m/s}$. Son dos velocidades distintas: la primera es la de avance de la perturbación y la segunda la de vibración transversal del medio.

$\textbf{3.2.2. Se quiere obtener la aceleración de la gravedad mediante un péndulo simple a partir de las siguientes medidas. (1,5 puntos)}$

a) El período de cada medida es el tiempo de diez oscilaciones dividido entre diez, y a partir de él se calcula su cuadrado:

$T=\dfrac{t_{10}}{10}$

$L\ \text{(m)}$	$0{,}60$	$0{,}82$	$0{,}90$	$1{,}05$ $T\ \text{(s)}$	$1{,}56$	$1{,}82$	$1{,}91$	$2{,}05$ $T^2\ (\text{s}^2)$	$2{,}43$	$3{,}31$	$3{,}65$	$4{,}20$

Representamos $T^2$ en el eje de ordenadas frente a $L$ en el de abscisas:



Los cuatro puntos se alinean bien: la relación entre $T^2$ y $L$ es lineal.

b) El período de un péndulo simple de longitud $L$ es:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

Elevando al cuadrado se obtiene la ecuación de una recta que pasa por el origen:

$T^2=\dfrac{4\pi^2}{g}\,L$

Comparando con $y=m\,x$, la pendiente de la recta es:

$m=\dfrac{4\pi^2}{g}\Rightarrow g=\dfrac{4\pi^2}{m}$

La recta de ajuste que pasa por el origen tiene pendiente:

$m=4{,}03\ \text{s}^2/\text{m}$

$g=\dfrac{4\pi^2}{4{,}03}=9{,}79\ \text{m/s}^2$

La aceleración de la gravedad obtenida de la gráfica es $9{,}79\ \text{m/s}^2$, con un error de un 0,2 % respecto del valor aceptado $9{,}81\ \text{m/s}^2$. Se llega al mismo resultado calculando $4\pi^2L/T^2$ en cada medida y promediando, lo que da $9{,}78\ \text{m/s}^2$.