Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Sean las rectas $r$ y $s$, expresadas por $\dfrac{x-3}{2} = y = z - 1$ y $(\mu, -\mu, \mu)$, respectivamente.

a) Determine la posición relativa de las rectas. [1,25 puntos]
b) Calcule la distancia entre la recta $r$ y la recta $s$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine la posición relativa de las rectas. (1,25 puntos)}$

Escribimos cada recta con un punto y un vector director. La primera está en forma continua y la segunda en forma vectorial.

$r:\ \dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1} \Rightarrow P_r(3,0,1),\ \vec v_r=(2,1,1)$

$s:\ (x,y,z)=(\mu,-\mu,\mu)=\mu\,(1,-1,1) \Rightarrow P_s(0,0,0),\ \vec v_s=(1,-1,1)$

Los vectores directores no son proporcionales, porque $\frac{2}{1}\neq\frac{1}{-1}$, así que las rectas no son ni paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan. Para distinguirlo, igualamos las dos rectas y vemos si el sistema tiene solución.

$\begin{cases} 3+2t=\mu \\ t=-\mu \\ 1+t=\mu \end{cases}$

De la segunda ecuación, $\mu=-t$; llevándolo a la tercera:

$1+t=-t \Rightarrow 2t=-1 \Rightarrow t=-\dfrac{1}{2}, \qquad \mu=\dfrac{1}{2}$

Comprobamos estos valores en la primera ecuación.

$3+2\left(-\dfrac{1}{2}\right)=2 \neq \dfrac{1}{2}=\mu$

El sistema es incompatible: no hay ningún punto común.

Las rectas $r$ y $s$ se cruzan, es decir, no son paralelas y no tienen ningún punto en común.

$\textbf{b) Calcule la distancia entre la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{s}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Para dos rectas que se cruzan la distancia se obtiene con el producto mixto: es el volumen del paralelepípedo que forman los tres vectores dividido por el área de su base.

$\overrightarrow{P_rP_s}=(0,0,0)-(3,0,1)=(-3,0,-1)$

$\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=(2,\,-1,\,-3)$

$\overrightarrow{P_rP_s}\cdot\left(\vec v_r\times\vec v_s\right)=(-3)\cdot 2+0\cdot(-1)+(-1)\cdot(-3)=-6+0+3=-3$

Que el producto mixto no sea nulo confirma, de paso, que las rectas se cruzan.

$\left|\vec v_r\times\vec v_s\right|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$

$d(r,s)=\dfrac{\left|\overrightarrow{P_rP_s}\cdot\left(\vec v_r\times\vec v_s\right)\right|}{\left|\vec v_r\times\vec v_s\right|}=\dfrac{|-3|}{\sqrt{14}}=\dfrac{3}{\sqrt{14}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{14}$

La distancia entre las dos rectas es $\dfrac{3\sqrt{14}}{14}\approx 0{,}80$ unidades.