Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Sea $f(x)$ una función derivable cuya gráfica pasa por el punto $(0, 1)$. La gráfica de su derivada, $f'(x)$, es la que se muestra en la figura.



a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de la gráfica de abscisa $x = 0$. [1,25 puntos]
b) Encuentre las abscisas de los puntos singulares de la función $f(x)$ y clasifíquelos. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto de la gráfica de abscisa } \boldsymbol{x = 0}\textbf{. (1,25 puntos)}$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=0$ es $y-f(0)=f'(0)\,(x-0)$, así que necesitamos dos datos: la ordenada del punto y la pendiente.

El primero lo da el enunciado, que dice que la gráfica de $f$ pasa por $(0,1)$.

$f(0)=1$

El segundo se lee en la figura: la pendiente de la tangente es el valor de la derivada, y la gráfica que se muestra es precisamente la de $f'(x)$.

$f'(0)=-4$

$y-1=-4\,(x-0) \Rightarrow y=-4x+1$

La recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(0,1)$ es $y=-4x+1$.

$\textbf{b) Encuentre las abscisas de los puntos singulares de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y clasifíquelos. (1,25 puntos)}$

Los puntos singulares son aquellos en los que se anula la derivada, es decir, los cortes de la gráfica de $f'(x)$ con el eje de abscisas. En la figura se ven tres.

$f'(x)=0 \Rightarrow x=-2, \quad x=-1, \quad x=1$

Para clasificarlos basta leer en la figura el signo de $f'(x)$ a cada lado, porque donde la derivada es positiva la función crece y donde es negativa decrece.

$x<-2 \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ es creciente}$

$-2<x<-1 \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ es creciente}$

$-1<x<1 \Rightarrow f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ es decreciente}$

$x>1 \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ es creciente}$

En $x=-2$ la gráfica de la derivada toca el eje sin atravesarlo, de modo que $f'(x)$ no cambia de signo: la función crece antes y después y no hay extremo, sino un punto de inflexión con tangente horizontal.

En $x=-1$ la derivada pasa de positiva a negativa, así que $f$ pasa de creciente a decreciente: hay un máximo relativo.

En $x=1$ la derivada pasa de negativa a positiva, así que $f$ pasa de decreciente a creciente: hay un mínimo relativo.

Los puntos singulares están en $x=-2$, $x=-1$ y $x=1$: el primero es un punto de inflexión de tangente horizontal, el segundo un máximo relativo y el tercero un mínimo relativo.