Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Un avión se desplaza desde un punto $A = (0, 3, 1)$ hacia una plataforma plana de ecuación $\pi: x - 2y + z = 1$ siguiendo una recta $r$ paralela al vector $\vec{v} = (1, -1, 0)$.

a) Calcule las coordenadas del punto de contacto $B$ del avión con el plano y la distancia recorrida. [1,25 puntos]
b) Calcule la ecuación general del plano perpendicular a la plataforma y que contiene la recta $r$ seguida por el avión desde el punto $A$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule las coordenadas del punto de contacto } \boldsymbol{B}\textbf{ del avión con el plano y la distancia recorrida. (1,25 puntos)}$

La trayectoria del avión es la recta que pasa por $A$ con vector director $\vec v$, así que empezamos escribiéndola en paramétricas.

$r:\ \begin{cases} x=0+t \\ y=3-t \\ z=1 \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}$

El punto de contacto es la intersección de esa recta con el plano: sustituimos y despejamos el parámetro.

$t-2\,(3-t)+1=1 \Rightarrow t-6+2t+1=1 \Rightarrow 3t=6 \Rightarrow t=2$

$x=2, \qquad y=3-2=1, \qquad z=1 \Rightarrow B(2,1,1)$

Comprobamos que $B$ está en el plano: $2-2+1=1$.

La distancia recorrida es la longitud del segmento $\overline{AB}$.

$\overrightarrow{AB}=(2-0,\ 1-3,\ 1-1)=(2,-2,0)$

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83$

El avión toca la plataforma en el punto $B(2,1,1)$ tras recorrer $2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ unidades de longitud.

$\textbf{b) Calcule la ecuación general del plano perpendicular a la plataforma y que contiene la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ seguida por el avión desde el punto } \boldsymbol{A}\textbf{. (1,25 puntos)}$

El plano buscado, $\sigma$, contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. Su vector normal ha de ser, por tanto, perpendicular al vector director de la recta y al vector normal de la plataforma; lo obtenemos como producto vectorial de los dos.

$\vec v=(1,-1,0), \qquad \vec n_{\pi}=(1,-2,1)$

$\vec n_{\sigma}=\vec v\times\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}=(-1,-1,-1)$

Cambiamos de signo, que da un vector igual de válido y más cómodo.

$\vec n_{\sigma}=(1,1,1) \Rightarrow \sigma:\ x+y+z+D=0$

$A(0,3,1)\in\sigma \Rightarrow 0+3+1+D=0 \Rightarrow D=-4$

$\sigma:\ x+y+z-4=0$

Comprobamos las dos condiciones: $\vec n_{\sigma}\cdot\vec n_{\pi}=1-2+1=0$, luego los planos son perpendiculares, y $B(2,1,1)$ cumple $2+1+1-4=0$, luego la recta entera está contenida en $\sigma$.

El plano pedido es $\sigma: x+y+z-4=0$.