Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Sean las funciones $f(x) = x^3$ y $g(x) = a \cdot x^2$, donde $a$ es un número real positivo.

a) Encuentre, en función del parámetro $a$, los puntos de corte entre las dos curvas $y = f(x)$ e $y = g(x)$ y haga un esbozo de la región limitada por las dos gráficas. [1,25 puntos]
b) Calcule el valor de $a$ para que el área comprendida entre $y = f(x)$ e $y = g(x)$ sea $\dfrac{27}{4}\ u^2$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Encuentre, en función del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{, los puntos de corte entre las dos curvas } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{ e } \boldsymbol{y = g(x)}\textbf{ y haga un esbozo de la región limitada por las dos gráficas. (1,25 puntos)}$

Igualamos las dos funciones para hallar las abscisas comunes.

$x^3=a\,x^2 \Rightarrow x^3-a\,x^2=0 \Rightarrow x^2\,(x-a)=0$

$\begin{cases} x=0 \ (\text{doble}) \\ x=a \end{cases}$

$x=0 \Rightarrow y=0^3=0 \Rightarrow (0,0)$

$x=a \Rightarrow y=a^3 \Rightarrow \left(a,a^3\right)$

Entre esas dos abscisas comparamos las dos funciones para saber cuál va por encima. Como $a>0$:

$0<x<a \Rightarrow g(x)-f(x)=a\,x^2-x^3=x^2\,(a-x)>0 \Rightarrow g(x)>f(x)$



Las dos curvas se cortan en $(0,0)$ y en $\left(a,a^3\right)$, y entre esos dos puntos la parábola $y=a\,x^2$ queda por encima de la cúbica $y=x^3$, encerrando el recinto sombreado.

$\textbf{b) Calcule el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que el área comprendida entre } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{ e } \boldsymbol{y = g(x)}\textbf{ sea } \boldsymbol{\dfrac{27}{4}\ u^2}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Integramos entre los dos cortes la diferencia entre la función de arriba y la de abajo.

$A=\int_{0}^{a}\left(a\,x^2-x^3\right)dx=\left[\dfrac{a\,x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}\right]_{0}^{a}$

$A=\dfrac{a\cdot a^3}{3}-\dfrac{a^4}{4}=\dfrac{a^4}{3}-\dfrac{a^4}{4}=\dfrac{4a^4-3a^4}{12}=\dfrac{a^4}{12}$

Igualamos al área que pide el enunciado.

$\dfrac{a^4}{12}=\dfrac{27}{4} \Rightarrow a^4=\dfrac{27\cdot 12}{4}=81$

$a=\pm\sqrt[4]{81}=\pm 3$

Se descarta $a=-3$ porque el enunciado dice que $a$ es un número real positivo.

El valor pedido es $a=3$; con él las curvas son $y=x^3$ e $y=3x^2$, que se cortan en $(0,0)$ y $(3,27)$.