Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f(x) = x^3$.

a) Calcule en qué punto del tercer cuadrante la recta tangente a $y = f(x)$ es paralela a la recta $3x - y = 4$. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica en este punto y haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función y las dos rectas. [1,25 puntos]
b) Calcule el área de la región delimitada por $y = f(x)$ y la recta $y = 3x + 2$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule en qué punto del tercer cuadrante la recta tangente a } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{ es paralela a la recta } \boldsymbol{3x - y = 4}\textbf{. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica en este punto y haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función y las dos rectas. (1,25 puntos)}$

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, así que empezamos escribiendo la recta dada en forma explícita para leer la suya.

$3x-y=4 \Rightarrow y=3x-4 \Rightarrow m=3$

La pendiente de la recta tangente en un punto es la derivada, de modo que imponemos que valga 3.

$f'(x)=3x^2$

$3x^2=3 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$

$x=1 \Rightarrow y=1^3=1 \Rightarrow (1,1) \ \text{(primer cuadrante)}$

$x=-1 \Rightarrow y=(-1)^3=-1 \Rightarrow (-1,-1) \ \text{(tercer cuadrante)}$

Se descarta el punto $(1,1)$ porque el enunciado pide el del tercer cuadrante, donde las dos coordenadas son negativas.

$y-(-1)=3\,(x-(-1)) \Rightarrow y+1=3x+3 \Rightarrow y=3x+2$



La recta tangente en el punto $(-1,-1)$ es $y=3x+2$, paralela a la recta dada porque las dos tienen pendiente 3.

$\textbf{b) Calcule el área de la región delimitada por } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{y = 3x + 2}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Buscamos primero los puntos de corte de la curva con la recta, que serán los límites de integración.

$x^3=3x+2 \Rightarrow x^3-3x-2=0$

Por Ruffini, $x=-1$ es raíz, y al dividir queda $x^2-x-2$, cuyas raíces son $-1$ y $2$.

$x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2) \Rightarrow \begin{cases} x=-1 \ (\text{doble}) \\ x=2 \end{cases}$

La raíz doble en $x=-1$ era previsible: por el apartado a) la recta es tangente a la curva en ese punto.

Entre $-1$ y $2$ el factor $(x+1)^2$ es positivo y $x-2$ es negativo, luego $x^3-(3x+2)<0$: la recta va por encima de la curva.



$A=\int_{-1}^{2}\left[(3x+2)-x^3\right]dx=\left[\dfrac{3x^2}{2}+2x-\dfrac{x^4}{4}\right]_{-1}^{2}$

$A=\left(6+4-4\right)-\left(\dfrac{3}{2}-2-\dfrac{1}{4}\right)=6-\left(-\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{27}{4}$

El área de la región delimitada por la curva y la recta es $\dfrac{27}{4}=6{,}75$ unidades cuadradas.