Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f(x) = \dfrac{ax^2 + b}{x}$, donde $a$ y $b$ son dos parámetros reales. Calcule los valores de $a$ y $b$ de manera que la función $f(x)$ tenga una asíntota oblicua de pendiente 1 y un mínimo en el punto de la gráfica de abscisa $x = 2$. [2,5 puntos]

$\textbf{Considere la función } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{ax^2 + b}{x}}\textbf{, donde } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ son dos parámetros reales. Calcule los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ de manera que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tenga una asíntota oblicua de pendiente 1 y un mínimo en el punto de la gráfica de abscisa } \boldsymbol{x = 2}\textbf{. (2,5 puntos)}$

Hay dos condiciones y dos incógnitas. Empezamos separando la fracción, lo que simplifica tanto el cálculo de la asíntota como el de la derivada.

$f(x)=\dfrac{ax^2+b}{x}=ax+\dfrac{b}{x}$

El dominio es $\mathbb{R}-\{0\}$.

i) La asíntota oblicua es $y=mx+n$, con $m$ el límite del cociente $f(x)/x$. El enunciado pide que esa pendiente valga 1.

$m=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(a+\dfrac{b}{x^2}\right)=a$

$a=1$

Se puede ver también directamente: como $\frac{b}{x}\to 0$, la gráfica se pega a la recta $y=ax$, que es la asíntota oblicua, y su pendiente es $a$.

ii) En un mínimo la derivada se anula.

$f'(x)=a-\dfrac{b}{x^2}=1-\dfrac{b}{x^2}$

$f'(2)=0 \Rightarrow 1-\dfrac{b}{4}=0 \Rightarrow b=4$

Falta comprobar que en $x=2$ hay realmente un mínimo y no otro tipo de extremo, para lo cual usamos la derivada segunda.

$f''(x)=\dfrac{2b}{x^3}=\dfrac{8}{x^3} \Rightarrow f''(2)=\dfrac{8}{8}=1>0$

Al ser positiva, en $x=2$ hay efectivamente un mínimo relativo.

$f(x)=\dfrac{x^2+4}{x}=x+\dfrac{4}{x}, \qquad f(2)=2+2=4$

Los valores pedidos son $a=1$ y $b=4$: la función es $f(x)=\dfrac{x^2+4}{x}$, que tiene la asíntota oblicua $y=x$ y un mínimo relativo en el punto $(2,4)$.