Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

a) Calcule la ecuación general del plano $\pi$ que pasa por el punto $(8, 8, 8)$ y tiene como vectores directores $\vec{u} = (1, 2, -3)$ y $\vec{v} = (-1, 0, 3)$. [1,25 puntos]
b) Determine el valor del parámetro $a$ para que el punto $(1, -5, a)$ pertenezca al plano $\pi$ y calcule la ecuación paramétrica de la recta que pasa por este punto y es perpendicular al plano $\pi$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule la ecuación general del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que pasa por el punto } \boldsymbol{(8, 8, 8)}\textbf{ y tiene como vectores directores } \boldsymbol{\vec{u} = (1, 2, -3)}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v} = (-1, 0, 3)}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Un vector normal del plano es perpendicular a sus dos vectores directores, así que lo obtenemos como producto vectorial de ambos.

$\vec n_{\pi}=\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 2 & -3 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}=(6,\,0,\,2)$

Los vectores normales se pueden simplificar dividiendo por 2.

$\vec n_{\pi}=(3,0,1) \Rightarrow \pi:\ 3x+0\cdot y+z+D=0$

$(8,8,8)\in\pi \Rightarrow 24+0+8+D=0 \Rightarrow D=-32$

$\pi:\ 3x+z-32=0$

La ecuación general del plano es $\pi: 3x+z-32=0$.

$\textbf{b) Determine el valor del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ para que el punto } \boldsymbol{(1, -5, a)}\textbf{ pertenezca al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y calcule la ecuación paramétrica de la recta que pasa por este punto y es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Que el punto pertenezca al plano significa que sus coordenadas satisfacen la ecuación.

$3\cdot 1+a-32=0 \Rightarrow a-29=0 \Rightarrow a=29$

$Q(1,-5,29)$

Obsérvese que la ecuación del plano no contiene $y$, de modo que la segunda coordenada del punto no interviene.

La recta perpendicular al plano tiene por vector director el vector normal de $\pi$.

$\vec v_r=\vec n_{\pi}=(3,0,1)$

$r:\ \begin{cases} x=1+3t \\ y=-5 \\ z=29+t \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}$

El punto es $(1,-5,29)$, es decir, $a=29$, y la recta perpendicular al plano por él es la anterior.