Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real $k$:

$\begin{cases} 5x + y + 4z = 19 \\ kx + 2y + 8z = 28 \\ 5x + y - kz = 23 + k \end{cases}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $k$. [1,25 puntos]
b) Resuelva, si es posible, el sistema para el caso $k = 0$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \\ k & 2 & 8 \\ 5 & 1 & -k \end{pmatrix}, \qquad A^*=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 & 19 \\ k & 2 & 8 & 28 \\ 5 & 1 & -k & 23+k \end{pmatrix}$

$|A|=-10k+40+4k-\left(40+40-k^2\right)=k^2-6k-40$

$|A|=0 \Rightarrow k=\dfrac{6\pm\sqrt{36+160}}{2}=\dfrac{6\pm 14}{2} \Rightarrow \begin{cases} k=10 \\ k=-4 \end{cases}$

Si $k\neq 10$ y $k\neq -4$, entonces $|A|\neq 0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3=\text{n\'umero de inc\'ognitas} \Rightarrow \text{sistema compatible determinado.}$

Si $k=10$:

$A^*=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 & 19 \\ 10 & 2 & 8 & 28 \\ 5 & 1 & -10 & 33 \end{pmatrix}$

La segunda fila de $A$ es el doble de la primera, pero en los términos independientes $2\cdot 19=38\neq 28$: las dos primeras ecuaciones se contradicen.

$\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 5 & -10 \end{vmatrix}=-50-20=-70\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 19 \\ 10 & 8 & 28 \\ 5 & -10 & 33 \end{vmatrix}=1320+560-1900-\left(760-1400+1320\right)=-20-680=-700\neq 0$

$\operatorname{ran}(A)=2\neq 3=\operatorname{ran}(A^*) \Rightarrow \text{sistema incompatible.}$

Si $k=-4$:

$A^*=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 & 19 \\ -4 & 2 & 8 & 28 \\ 5 & 1 & 4 & 19 \end{pmatrix}$

Ahora las filas primera y tercera son idénticas, término independiente incluido, así que la tercera ecuación sobra.

$\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -4 & 2 \end{vmatrix}=10+4=14\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=2<3$

$\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

El sistema es compatible determinado para $k\neq 10$ y $k\neq -4$, incompatible para $k=10$ y compatible indeterminado para $k=-4$.

$\textbf{b) Resuelva, si es posible, el sistema para el caso } \boldsymbol{k = 0}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Para $k=0$ el sistema es compatible determinado, con

$|A|=0^2-6\cdot 0-40=-40$

$\begin{cases} 5x+y+4z=19 \\ 2y+8z=28 \\ 5x+y=23 \end{cases}$

Lo resolvemos por la regla de Cramer.

$x=\dfrac{\begin{vmatrix} 19 & 1 & 4 \\ 28 & 2 & 8 \\ 23 & 1 & 0 \end{vmatrix}}{-40}=\dfrac{0+184+112-\left(184+152+0\right)}{-40}=\dfrac{-40}{-40}=1$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix} 5 & 19 & 4 \\ 0 & 28 & 8 \\ 5 & 23 & 0 \end{vmatrix}}{-40}=\dfrac{0+760+0-\left(560+920+0\right)}{-40}=\dfrac{-720}{-40}=18$

$z=\dfrac{\begin{vmatrix} 5 & 1 & 19 \\ 0 & 2 & 28 \\ 5 & 1 & 23 \end{vmatrix}}{-40}=\dfrac{230+140+0-\left(190+140+0\right)}{-40}=\dfrac{40}{-40}=-1$

Comprobamos en la primera ecuación: $5+18-4=19$.

Para $k=0$ la solución única del sistema es $x=1$, $y=18$, $z=-1$.