Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Considere la función $f(x) = \dfrac{x^3}{x-2}$.

a) Estudie si tiene puntos críticos y, en caso de que tenga, justifique de qué tipo son. Determine también cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. [1,5 puntos]
b) Compruebe que la ecuación $f(x) = 0$ tiene una única solución en el intervalo $(-2, 1)$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie si tiene puntos críticos y, en caso de que tenga, justifique de qué tipo son. Determine también cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. (1,5 puntos)}$

Antes de derivar conviene fijar el dominio, porque la función es racional.

$x-2=0 \Rightarrow x=2 \Rightarrow \text{Dom } f=\mathbb{R}-\{2\}$

Derivamos con la regla del cociente y factorizamos el resultado.

$f'(x)=\dfrac{3x^2(x-2)-x^3\cdot 1}{(x-2)^2}=\dfrac{3x^3-6x^2-x^3}{(x-2)^2}=\dfrac{2x^3-6x^2}{(x-2)^2}$

$f'(x)=\dfrac{2x^2\,(x-3)}{(x-2)^2}$

$f'(x)=0 \Rightarrow 2x^2(x-3)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \ (\text{doble}) \\ x=3 \end{cases}$

Hay, pues, dos puntos críticos. Para clasificarlos estudiamos el signo de $f'(x)$: el denominador está elevado al cuadrado y $2x^2\geq 0$, así que el signo lo decide únicamente el factor $x-3$.

$x<3 \ (x\neq 0,\ x\neq 2) \Rightarrow f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ es decreciente}$

$x>3 \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ es creciente}$



En $x=0$ la derivada se anula pero no cambia de signo, porque el factor $x^2$ es siempre positivo: la función decrece antes y después. No es, por tanto, un extremo relativo, sino un punto de tangente horizontal (un punto de inflexión con tangente horizontal).

En $x=3$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo relativo.

$f(3)=\dfrac{3^3}{3-2}=\dfrac{27}{1}=27 \Rightarrow (3,27)$

La función decrece en $(-\infty,0)$, $(0,2)$ y $(2,3)$, y crece en $(3,+\infty)$; tiene un mínimo relativo en $(3,27)$ y en $x=0$ solo una tangente horizontal, sin extremo.

$\textbf{b) Compruebe que la ecuación } \boldsymbol{f(x) = 0}\textbf{ tiene una única solución en el intervalo } \boldsymbol{(-2, 1)}\textbf{. (1 punto)}$

El intervalo $[-2,1]$ está contenido en el dominio, porque el único punto excluido, $x=2$, queda fuera. La función es, por tanto, continua en $[-2,1]$, y podemos aplicar el teorema de Bolzano.

$f(-2)=\dfrac{(-2)^3}{-2-2}=\dfrac{-8}{-4}=2>0$

$f(1)=\dfrac{1^3}{1-2}=\dfrac{1}{-1}=-1<0$

Como los signos son distintos, existe al menos un $c\in(-2,1)$ con $f(c)=0$.

Para ver que la solución es única usamos el apartado anterior: en $(-2,1)$ la derivada es negativa salvo en el punto aislado $x=0$, donde se anula sin cambiar de signo, de modo que $f$ es estrictamente decreciente en todo el intervalo y no puede tomar el valor 0 más de una vez.

De hecho la solución se puede identificar: una fracción es nula solo si lo es su numerador.

$f(x)=0 \Rightarrow \dfrac{x^3}{x-2}=0 \Rightarrow x^3=0 \Rightarrow x=0$

La ecuación $f(x)=0$ tiene una única solución en $(-2,1)$, que es $x=0$.