Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2021

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & a & 0 \\ 2 & a+1 & a-1 \\ 2a+1 & 0 & -a-3 \end{pmatrix}$, donde $a$ es un parámetro real.

a) Encuentre para qué valores de $a$ la matriz $A$ es invertible. [1 punto]
b) Compruebe que, para el caso $a = 3$, la matriz $A$ es invertible y resuelva la ecuación matricial $A X = B - 3I$, donde $B$ es la matriz $B = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Encuentre para qué valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ es invertible. (1 punto)}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es nulo, así que lo calculamos y vemos cuándo se anula.

$|A|=\begin{vmatrix} a & a & 0 \\ 2 & a+1 & a-1 \\ 2a+1 & 0 & -a-3 \end{vmatrix}$

$|A|=-a(a+1)(a+3)+a(a-1)(2a+1)+0-\left[0+0-2a(a+3)\right]$

Sacamos $a$ como factor común, que aparece en los tres sumandos.

$|A|=a\left[-(a+1)(a+3)+(a-1)(2a+1)+2(a+3)\right]$

$|A|=a\left[-\left(a^2+4a+3\right)+\left(2a^2-a-1\right)+2a+6\right]=a\left(a^2-3a+2\right)$

$|A|=a\,(a-1)(a-2)$

$|A|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=1 \\ a=2 \end{cases}$

La matriz $A$ es invertible para todo valor real de $a$ distinto de 0, 1 y 2.

$\textbf{b) Compruebe que, para el caso } \boldsymbol{a = 3}\textbf{, la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ es invertible y resuelva la ecuación matricial } \boldsymbol{A X = B - 3I}\textbf{, donde } \boldsymbol{B}\textbf{ es la matriz } \boldsymbol{B = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Basta sustituir en el determinante del apartado anterior.

$A=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -6 \end{pmatrix}, \qquad |A|=3\,(3-1)(3-2)=6\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, $A$ es invertible y se puede despejar $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$.

$A^{-1}A\,X=A^{-1}(B-3I) \Rightarrow X=A^{-1}(B-3I)$

$B-3I=\begin{pmatrix} 6 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Calculamos la inversa de $A$ con la matriz adjunta.

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A)^{T}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} -24 & 18 & 6 \\ 26 & -18 & -6 \\ -28 & 21 & 6 \end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} -24 & 18 & 6 \\ 26 & -18 & -6 \\ -28 & 21 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} -30 & -30 & -30 \\ 36 & 36 & 36 \\ -36 & -36 & -36 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} -5 & -5 & -5 \\ 6 & 6 & 6 \\ -6 & -6 & -6 \end{pmatrix}$

Las tres columnas salen iguales porque también lo son las de $B-3I$. Comprobamos el resultado con la primera columna:

$\begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -5 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -15+18+0 \\ -10+24-12 \\ -35+0+36 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix} -5 & -5 & -5 \\ 6 & 6 & 6 \\ -6 & -6 & -6 \end{pmatrix}$.