Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

a) En la figura se muestra la gráfica de la función $f(x)$. Represente de manera esquemática la gráfica de la función derivada de $f(x)$. Explique el razonamiento que ha seguido. [1,25 puntos]

b) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función $g(x) = ax^3 + bx^2 + 1$ tenga un punto de inflexión en $x = \dfrac{1}{2}$ y su derivada en este punto sea $\dfrac{-3}{2}$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) En la figura se muestra la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. Represente de manera esquemática la gráfica de la función derivada de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. Explique el razonamiento que ha seguido. (1,25 puntos)}$

El razonamiento consiste en traducir a valores de $f'(x)$ lo que se ve en la gráfica de $f(x)$: donde la tangente es horizontal la derivada se anula, donde la función crece la derivada es positiva y donde decrece es negativa.

i) En la gráfica hay dos puntos con tangente horizontal: un máximo relativo en $x=0$ y un mínimo relativo en $x=1$. Por tanto, la derivada corta al eje de abscisas en esas dos abscisas.

$f'(0)=0, \qquad f'(1)=0$

ii) A la izquierda del máximo la función crece, entre el máximo y el mínimo decrece y a la derecha del mínimo vuelve a crecer.

$x<0 \Rightarrow f'(x)>0$

$0<x<1 \Rightarrow f'(x)<0$

$x>1 \Rightarrow f'(x)>0$

iii) La curva del enunciado tiene la forma de un polinomio de tercer grado, así que su derivada es un polinomio de segundo grado: una parábola con las ramas hacia arriba y con los dos ceros en $x=0$ y $x=1$. Su vértice cae en el punto de inflexión de $f$, que en la gráfica está hacia $x=0{,}5$, justo donde $f$ decrece más deprisa.



La gráfica de $f'(x)$ es, esquemáticamente, una parábola convexa que corta al eje de abscisas en $x=0$ y $x=1$, positiva fuera de ese intervalo y negativa dentro.

$\textbf{b) Calcule los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{g(x) = ax^3 + bx^2 + 1}\textbf{ tenga un punto de inflexión en } \boldsymbol{x = \dfrac{1}{2}}\textbf{ y su derivada en este punto sea } \boldsymbol{\dfrac{-3}{2}}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Las dos condiciones se traducen en dos ecuaciones con la derivada primera y la segunda.

$g'(x)=3ax^2+2bx, \qquad g''(x)=6ax+2b$

En un punto de inflexión se anula la derivada segunda.

$g''\left(\dfrac{1}{2}\right)=0 \Rightarrow 3a+2b=0 \Rightarrow b=-\dfrac{3a}{2}$

La segunda condición es sobre la derivada primera.

$g'\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{3a}{4}+b=-\dfrac{3}{2}$

Sustituimos $b$ y despejamos $a$.

$\dfrac{3a}{4}-\dfrac{3a}{2}=-\dfrac{3}{2} \Rightarrow -\dfrac{3a}{4}=-\dfrac{3}{2} \Rightarrow a=2$

$b=-\dfrac{3\cdot 2}{2}=-3$

Comprobamos: con $g(x)=2x^3-3x^2+1$ se tiene $g''(x)=12x-6$, que se anula en $x=\frac{1}{2}$ y cambia de signo, y $g'\left(\frac{1}{2}\right)=6\cdot\frac{1}{4}-6\cdot\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$.

Los valores pedidos son $a=2$ y $b=-3$. Obsérvese que la función que resulta, $g(x)=2x^3-3x^2+1$, es precisamente la del apartado a): tiene el máximo en $x=0$, el mínimo en $x=1$ y corta al eje en $x=-\frac{1}{2}$.