Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

a) Dada la función $f(x) = \dfrac{4}{x}$, calcule la ecuación de la recta tangente a $y = f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$. Encuentre también la ecuación de la recta normal a $y = f(x)$ en este mismo punto. [1,25 puntos]
b) Haga un esbozo de las gráficas de la curva $y = f(x)$ y de la recta $4x + y = 8$, y calcule el área delimitada por estas dos gráficas, el eje de abscisas y la recta vertical $x = 3$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Dada la función } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{4}{x}}\textbf{, calcule la ecuación de la recta tangente a } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 1}\textbf{. Encuentre también la ecuación de la recta normal a } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{ en este mismo punto. (1,25 puntos)}$

La recta tangente tiene por pendiente la derivada en el punto, y la normal es la perpendicular a la tangente por ese mismo punto, de pendiente el opuesto del inverso.

$f(x)=\dfrac{4}{x}=4x^{-1} \Rightarrow f'(x)=-4x^{-2}=-\dfrac{4}{x^2}$

$f(1)=4, \qquad f'(1)=-4$

$y-4=-4\,(x-1) \Rightarrow y=-4x+8 \Rightarrow 4x+y=8$

$m_{\text{normal}}=-\dfrac{1}{f'(1)}=-\dfrac{1}{-4}=\dfrac{1}{4}$

$y-4=\dfrac{1}{4}(x-1) \Rightarrow y=\dfrac{x}{4}+\dfrac{15}{4}$

La recta tangente en el punto $(1,4)$ es $4x+y=8$ y la recta normal es $y=\dfrac{x}{4}+\dfrac{15}{4}$.

$\textbf{b) Haga un esbozo de las gráficas de la curva } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{ y de la recta } \boldsymbol{4x + y = 8}\textbf{, y calcule el área delimitada por estas dos gráficas, el eje de abscisas y la recta vertical } \boldsymbol{x = 3}\textbf{. (1,25 puntos)}$

La recta del enunciado es precisamente la tangente del apartado anterior, así que toca a la hipérbola en $(1,4)$ y por lo demás queda por debajo de ella. Corta al eje de abscisas en

$y=0 \Rightarrow 4x=8 \Rightarrow x=2$



El recinto está limitado por arriba por la hipérbola, desde el punto de tangencia hasta $x=3$; por abajo, primero por la recta (de $x=1$ a $x=2$) y luego por el eje de abscisas (de $x=2$ a $x=3$). Hay que partirlo, por tanto, en dos integrales.

$A_1=\int_{1}^{2}\left[\dfrac{4}{x}-(8-4x)\right]dx=\left[4\ln|x|-8x+2x^2\right]_{1}^{2}$

$A_1=\left(4\ln 2-16+8\right)-\left(0-8+2\right)=4\ln 2-8+6=4\ln 2-2$

$A_2=\int_{2}^{3}\dfrac{4}{x}\,dx=\left[4\ln|x|\right]_{2}^{3}=4\ln 3-4\ln 2$

$A=A_1+A_2=4\ln 2-2+4\ln 3-4\ln 2=4\ln 3-2\approx 2{,}39$

El área del recinto es $4\ln 3-2\approx 2{,}39$ unidades cuadradas.