Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Considere la función $f(x) = \mathrm{e}^{x-1} - x - 1$.

a) Estudie su continuidad, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,25 puntos]
b) Demuestre que la ecuación $f(x) = 0$ tiene exactamente dos soluciones entre $x = -1$ y $x = 3$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Estudie su continuidad, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1,25 puntos)}$

La función es la diferencia de una exponencial y un polinomio, y las dos son continuas en todo $\mathbb{R}$; por tanto $f$ es continua (y derivable) en $\mathbb{R}$.

Para los extremos derivamos e igualamos a cero.

$f'(x)=e^{x-1}-1$

$f'(x)=0 \Rightarrow e^{x-1}=1 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$

La exponencial es creciente, así que $e^{x-1}$ es menor que 1 antes de $x=1$ y mayor después.

$x<1 \Rightarrow e^{x-1}<1 \Rightarrow f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ es decreciente}$

$x>1 \Rightarrow e^{x-1}>1 \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ es creciente}$

$f(1)=e^{0}-1-1=1-2=-1$

La función es continua en todo $\mathbb{R}$, decreciente en $(-\infty,1)$, creciente en $(1,+\infty)$, y tiene un mínimo relativo (que además es absoluto) en el punto $(1,-1)$.

$\textbf{b) Demuestre que la ecuación } \boldsymbol{f(x) = 0}\textbf{ tiene exactamente dos soluciones entre } \boldsymbol{x = -1}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 3}\textbf{. (1,25 puntos)}$

La palabra «exactamente» pide dos cosas: probar que hay al menos dos soluciones y probar que no puede haber más. Lo primero se hace con el teorema de Bolzano y lo segundo con la monotonía del apartado a), que parte el intervalo en dos trozos por el mínimo.

$f(-1)=e^{-2}+1-1=e^{-2}\approx 0{,}1353>0$

$f(1)=-1<0$

$f(3)=e^{2}-3-1=e^{2}-4\approx 3{,}3891>0$

En $[-1,1]$ la función es continua y cambia de signo, luego por Bolzano hay al menos una solución en $(-1,1)$; y como en ese intervalo es estrictamente decreciente, no puede tomar el valor 0 dos veces: hay exactamente una.

En $[1,3]$ la función también es continua y cambia de signo, luego hay al menos una solución en $(1,3)$; y como ahí es estrictamente creciente, también es única.



Fuera de esos dos trozos no hay más raíces dentro de $[-1,3]$, porque el único punto que queda es $x=1$ y $f(1)=-1\neq 0$.

La ecuación $f(x)=0$ tiene exactamente dos soluciones entre $x=-1$ y $x=3$: una en $(-1,1)$ y otra en $(1,3)$.