Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Considere el punto $P = (-1, 3, 1)$, el plano $\pi: x = y$ y la recta $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{3} = z - 2$.

a) Encuentre las coordenadas del punto $P'$ simétrico a $P$ respecto al plano $\pi$. [1,25 puntos]
b) De todos los planos que contienen la recta $r$, encuentre la ecuación cartesiana del que es perpendicular al plano $\pi$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Encuentre las coordenadas del punto } \boldsymbol{P'}\textbf{ simétrico a } \boldsymbol{P}\textbf{ respecto al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. (1,25 puntos)}$










El simétrico se construye en tres pasos: se traza la recta perpendicular al plano por $P$, se corta con el plano y se impone que ese corte sea el punto medio del segmento.

i) Construimos la recta $s$ perpendicular a $\pi$ por $P$, cuyo vector director es el normal del plano.

$\pi:\ x-y=0 \Rightarrow \vec n_{\pi}=(1,-1,0)$

$s:\ \begin{cases} x=-1+t \\ y=3-t \\ z=1 \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}$





ii) Calculamos $M$, la intersección de $s$ con $\pi$.

$(-1+t)-(3-t)=0 \Rightarrow 2t-4=0 \Rightarrow t=2$

$M(-1+2,\ 3-2,\ 1)=M(1,1,1)$

iii) Basta razonar que $M$ es el punto medio del segmento $\overline{PP'}$, de donde se despeja $P'$.

$M=\left(\dfrac{-1+P'_x}{2},\ \dfrac{3+P'_y}{2},\ \dfrac{1+P'_z}{2}\right)=(1,1,1)$

$\begin{cases} \dfrac{-1+P'_x}{2}=1 \Rightarrow P'_x=3 \\ \dfrac{3+P'_y}{2}=1 \Rightarrow P'_y=-1 \\ \dfrac{1+P'_z}{2}=1 \Rightarrow P'_z=1 \end{cases}$

El simétrico de $P$ respecto del plano $\pi$ es $P'(3,-1,1)$.

$\textbf{b) De todos los planos que contienen la recta } \boldsymbol{r}\textbf{, encuentre la ecuación cartesiana del que es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Leemos de la ecuación continua un punto y el vector director de la recta.

$r:\ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-2}{1} \Rightarrow P_0(1,0,2),\ \vec v_r=(2,3,1)$

El plano que buscamos, $\sigma$, contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. Su vector normal ha de ser perpendicular al vector director de la recta (porque la recta está dentro del plano) y perpendicular al normal de $\pi$ (porque los dos planos son perpendiculares). Un vector con las dos condiciones es el producto vectorial de ambos.

$\vec n_{\sigma}=\vec v_r\times\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}=(1,\,1,\,-5)$

$\sigma:\ x+y-5z+D=0$

$P_0(1,0,2)\in\sigma \Rightarrow 1+0-10+D=0 \Rightarrow D=9$

$\sigma:\ x+y-5z+9=0$

Comprobamos las dos condiciones: $\vec n_{\sigma}\cdot\vec n_{\pi}=1-1+0=0$, luego los planos son perpendiculares, y $\vec n_{\sigma}\cdot\vec v_r=2+3-5=0$, luego la recta es paralela a $\sigma$ y, al pasar por un punto suyo, está contenida en él.

El plano pedido es $\sigma: x+y-5z+9=0$.