Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real $p$:

$\begin{cases} px + y + z = 2 \\ 2x + py + p^2 z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $p$. [1,5 puntos]
b) Resuelva, si es posible, el sistema para el caso $p = 2$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro } \boldsymbol{p}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\begin{pmatrix} p & 1 & 1 \\ 2 & p & p^2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^*=\begin{pmatrix} p & 1 & 1 & 2 \\ 2 & p & p^2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

$|A|=p^2+2p^2+2-\left(2p+p^3+2\right)=3p^2-2p-p^3$

$|A|=-p\left(p^2-3p+2\right)=-p\,(p-1)(p-2)$

$|A|=0 \Rightarrow \begin{cases} p=0 \\ p=1 \\ p=2 \end{cases}$

Si $p\neq 0$, $p\neq 1$ y $p\neq 2$, entonces $|A|\neq 0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3=\text{n\'umero de inc\'ognitas} \Rightarrow \text{sistema compatible determinado.}$

Si $p=0$:

$A^*=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}=-2\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}=0+2+4-\left(0+0+4\right)=2\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=3$

$\operatorname{ran}(A)=2\neq 3=\operatorname{ran}(A^*) \Rightarrow \text{sistema incompatible.}$

Se ve también sin cálculos: la tercera fila de $A$ es la suma de las dos primeras, pero en los términos independientes $2+1=3\neq 2$.

Si $p=1$, las ecuaciones segunda y tercera tienen los mismos coeficientes, $2x+y+z$, y distinto término independiente, 1 y 2. Es imposible que se cumplan a la vez, luego el sistema es incompatible.

Si $p=2$:

$A^*=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Ahora las filas primera y tercera son idénticas, también en el término independiente, así que la tercera ecuación es superflua.

$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}=4-2=2\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=2<3$

$\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

El sistema es compatible determinado para $p\neq 0,1,2$, incompatible para $p=0$ y $p=1$, y compatible indeterminado para $p=2$.

$\textbf{b) Resuelva, si es posible, el sistema para el caso } \boldsymbol{p = 2}\textbf{. (1 punto)}$

Para $p=2$ el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones dependientes de un parámetro. Descartada la tercera ecuación, por ser igual a la primera, queda

$\begin{cases} 2x+y+z=2 \\ 2x+2y+4z=1 \end{cases}$

Restando la primera ecuación de la segunda desaparece $x$:

$y+3z=-1 \Rightarrow y=-1-3z$

$2x=2-y-z=2+1+3z-z=3+2z \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}+z$

$\begin{cases} x=\dfrac{3}{2}+\lambda \\ y=-1-3\lambda \\ z=\lambda \end{cases} \quad \lambda\in\mathbb{R}$

Para $p=2$ el sistema tiene infinitas soluciones: los puntos de la recta $\left(\frac{3}{2}+\lambda,\ -1-3\lambda,\ \lambda\right)$, con $\lambda\in\mathbb{R}$.