Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2021

Considere la parábola $y = 4 - x^2$ y un valor $a > 0$.

a) Compruebe que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa $x = a$ es $y = -2ax + a^2 + 4$ y calcule los puntos de corte de esta recta tangente con los ejes de coordenadas. [1,25 puntos]
b) Calcule el valor de $a > 0$ para que el área del triángulo determinado por esta recta tangente y los ejes de coordenadas sea mínima. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Compruebe que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = a}\textbf{ es } \boldsymbol{y = -2ax + a^2 + 4}\textbf{ y calcule los puntos de corte de esta recta tangente con los ejes de coordenadas. (1,25 puntos)}$










La recta tangente en el punto de abscisa $x=a$ es $y-y(a)=y'(a)\,(x-a)$, así que evaluamos la parábola y su derivada en $a$.

$y=4-x^2 \Rightarrow y'=-2x$

$y(a)=4-a^2, \qquad y'(a)=-2a$





$y-\left(4-a^2\right)=-2a\,(x-a) \Rightarrow y=-2ax+2a^2+4-a^2$

$y=-2ax+a^2+4$

Queda comprobada la ecuación del enunciado. Calculamos ahora los cortes con los ejes.

$x=0 \Rightarrow y=a^2+4 \Rightarrow \left(0,\ a^2+4\right)$

$y=0 \Rightarrow -2ax+a^2+4=0 \Rightarrow x=\dfrac{a^2+4}{2a} \Rightarrow \left(\dfrac{a^2+4}{2a},\ 0\right)$

Como $a>0$, los dos cortes están en los semiejes positivos, que es lo que permitirá formar un triángulo con los ejes.

$\textbf{b) Calcule el valor de } \boldsymbol{a > 0}\textbf{ para que el área del triángulo determinado por esta recta tangente y los ejes de coordenadas sea mínima. (1,25 puntos)}$

El triángulo es rectángulo, con los catetos sobre los ejes, y sus longitudes son las coordenadas de los cortes del apartado anterior.

$S(a)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a^2+4}{2a}\cdot\left(a^2+4\right)=\dfrac{\left(a^2+4\right)^2}{4a}$

Desarrollamos el cuadrado y dividimos, que deja una expresión más cómoda de derivar.

$S(a)=\dfrac{a^4+8a^2+16}{4a}=\dfrac{a^3}{4}+2a+\dfrac{4}{a}, \qquad a>0$

$S'(a)=\dfrac{3a^2}{4}+2-\dfrac{4}{a^2}$

$S'(a)=0 \Rightarrow 3a^4+8a^2-16=0$

Es una ecuación bicuadrada; llamando $u=a^2$:

$3u^2+8u-16=0 \Rightarrow u=\dfrac{-8\pm\sqrt{64+192}}{6}=\dfrac{-8\pm 16}{6} \Rightarrow \begin{cases} u=\dfrac{4}{3} \\ u=-4 \end{cases}$

Se descarta $u=-4$ porque $u=a^2\geq 0$, y de la otra solución tomamos la raíz positiva porque el enunciado pide $a>0$.

$a^2=\dfrac{4}{3} \Rightarrow a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1{,}1547$

$S''(a)=\dfrac{3a}{2}+\dfrac{8}{a^3}>0 \ \ \forall a>0 \Rightarrow \text{es un mínimo.}$

Y al ser el único extremo en $(0,+\infty)$, es el mínimo absoluto.

$S\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{16}{3}=\dfrac{32\sqrt{3}}{9}\approx 6{,}16$

El área del triángulo es mínima para $a=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1{,}15$, y ese área mínima vale $\dfrac{32\sqrt{3}}{9}\approx 6{,}16$ unidades cuadradas.