Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2022

La imagen siguiente muestra dos paredes perpendiculares de una sala representadas en unos ejes de coordenadas, de manera que una pared está en el plano $y = 0$ y la otra está en el plano $x = 0$.



En el punto $A = (2, 0, 2)$ queremos colgar un altavoz que ha de estar conectado a un equipo de sonido, que está situado en la otra pared, en el punto $B = (0, 2, 1)$. La conexión entre $A$ y $B$ la haremos mediante un cable que pase por el punto $C = (0, 0, h)$, situado en la recta vertical de intersección de las dos paredes. Como la calidad del sonido depende, entre otros factores, de la longitud del cable que une los dos aparatos, queremos hacer una instalación con el mínimo de cable posible.
a) Compruebe que la longitud total del cable necesario, en función de la altura $h$ por donde ha de pasar el cable en el eje vertical $OZ$, viene dada por la expresión $L(h) = \sqrt{h^2 - 4h + 8} + \sqrt{h^2 - 2h + 5}$. [0,75 puntos]
b) Calcule las coordenadas del punto $C$ por donde ha de pasar el cable para que la longitud del cable sea mínima. Calcule esta longitud mínima del cable. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Compruebe que la longitud total del cable necesario, en función de la altura } \boldsymbol{h}\textbf{ por donde ha de pasar el cable en el eje vertical } \boldsymbol{OZ}\textbf{, viene dada por la expresión } \boldsymbol{L(h) = \sqrt{h^2 - 4h + 8} + \sqrt{h^2 - 2h + 5}}\textbf{. (0,75 puntos)}$

El cable va de $A$ a $C$ y de $C$ a $B$, así que su longitud total es la suma de las dos distancias.

$L(h)=d(A,C)+d(C,B)$

$d(A,C)=\sqrt{(0-2)^2+(0-0)^2+(h-2)^2}=\sqrt{4+h^2-4h+4}=\sqrt{h^2-4h+8}$

$d(C,B)=\sqrt{(0-0)^2+(2-0)^2+(1-h)^2}=\sqrt{4+h^2-2h+1}=\sqrt{h^2-2h+5}$

$L(h)=\sqrt{h^2-4h+8}+\sqrt{h^2-2h+5}$

Queda comprobada la expresión del enunciado.

$\textbf{b) Calcule las coordenadas del punto } \boldsymbol{C}\textbf{ por donde ha de pasar el cable para que la longitud del cable sea mínima. Calcule esta longitud mínima del cable. (1,75 puntos)}$

Minimizamos $L(h)$ derivando cada raíz con la regla de la cadena.

$L'(h)=\dfrac{2h-4}{2\sqrt{h^2-4h+8}}+\dfrac{2h-2}{2\sqrt{h^2-2h+5}}=\dfrac{h-2}{\sqrt{h^2-4h+8}}+\dfrac{h-1}{\sqrt{h^2-2h+5}}$

$L'(h)=0 \Rightarrow \dfrac{h-2}{\sqrt{h^2-4h+8}}=-\dfrac{h-1}{\sqrt{h^2-2h+5}}$

Elevamos al cuadrado los dos miembros, teniendo en cuenta que después habrá que comprobar la solución obtenida.

$(h-2)^2\left(h^2-2h+5\right)=(h-1)^2\left(h^2-4h+8\right)$

$\left(h^2-4h+4\right)\left(h^2-2h+5\right)=\left(h^2-2h+1\right)\left(h^2-4h+8\right)$

$h^4-6h^3+17h^2-28h+20=h^4-6h^3+17h^2-20h+8$

Los términos de grado 4, 3 y 2 son iguales en los dos miembros y se cancelan, con lo que queda una ecuación de primer grado.

$-28h+20=-20h+8 \Rightarrow 12=8h \Rightarrow h=\dfrac{3}{2}$

Como al elevar al cuadrado se pueden introducir soluciones falsas, comprobamos que este valor anula de verdad la derivada:

$L'\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{9}{4}-6+8}}+\dfrac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{9}{4}-3+5}}=\dfrac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{17}{4}}}+\dfrac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{17}{4}}}=0$

Es un mínimo porque $L$ tiende a infinito cuando $h\to\pm\infty$ y $h=\frac{3}{2}$ es el único punto donde se anula la derivada.

$L\left(\dfrac{3}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{17}{4}}+\sqrt{\dfrac{17}{4}}=2\cdot\dfrac{\sqrt{17}}{2}=\sqrt{17}\approx 4{,}12$

El cable debe pasar por el punto $C\left(0,0,\frac{3}{2}\right)$, y con esa colocación su longitud mínima es de $\sqrt{17}\approx 4{,}12$ unidades.