Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2022

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & a & 0 \\ 2 & a+1 & a-1 \\ 2a+1 & 0 & -a-3 \end{pmatrix}$, donde $a$ es un parámetro real.

a) Calcule los valores del parámetro $a$ para los cuales la matriz $A$ es invertible. [1,25 puntos]
b) Para el caso $a = 3$, resuelva la ecuación $A \cdot X = B - 3I$, donde $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule los valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ para los cuales la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ es invertible. (1,25 puntos)}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero, así que basta calcularlo y ver cuándo se anula.

$|A|=\begin{vmatrix} a & a & 0 \\ 2 & a+1 & a-1 \\ 2a+1 & 0 & -a-3 \end{vmatrix}$

$|A|=-a(a+1)(a+3)+a(a-1)(2a+1)+0-\left[0+0-2a(a+3)\right]$

Sacamos $a$ como factor común y desarrollamos el corchete.

$|A|=a\left[-(a+1)(a+3)+(a-1)(2a+1)+2(a+3)\right]$

$|A|=a\left[-\left(a^2+4a+3\right)+\left(2a^2-a-1\right)+2a+6\right]=a\left(a^2-3a+2\right)$

$|A|=a\,(a-1)(a-2)$

$|A|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=1 \\ a=2 \end{cases}$

La matriz $A$ es invertible para todos los valores reales de $a$ salvo $a=0$, $a=1$ y $a=2$.

$\textbf{b) Para el caso } \boldsymbol{a = 3}\textbf{, resuelva la ecuación } \boldsymbol{A \cdot X = B - 3I}\textbf{, donde } \boldsymbol{B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Simplificamos primero el segundo miembro, que es especialmente sencillo porque $B=4I$.

$B-3I=4I-3I=I$

$A\cdot X=I \Rightarrow X=A^{-1}$

Es decir, la incógnita es directamente la inversa de $A$, que existe porque $a=3$ no es ninguno de los valores excluidos en el apartado a).

$A=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -6 \end{pmatrix}, \qquad |A|=3\,(3-1)(3-2)=6$

Calculamos la inversa con la matriz adjunta.

$\operatorname{Adj}(A)^{T}=\begin{pmatrix} -24 & 18 & 6 \\ 26 & -18 & -6 \\ -28 & 21 & 6 \end{pmatrix}$

$X=A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A)^{T}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} -24 & 18 & 6 \\ 26 & -18 & -6 \\ -28 & 21 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 & 3 & 1 \\ \frac{13}{3} & -3 & -1 \\ -\frac{14}{3} & \frac{7}{2} & 1 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando por $A$:

$A\cdot X=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -24 & 18 & 6 \\ 26 & -18 & -6 \\ -28 & 21 & 6 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}=I$

La solución de la ecuación matricial es $X=A^{-1}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} -24 & 18 & 6 \\ 26 & -18 & -6 \\ -28 & 21 & 6 \end{pmatrix}$.