Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) Considere la función $f(x) = \begin{cases} \ln(x), & \text{si } x \in (0,\ \mathrm{e}) \\ ax + b, & \text{si } x \in [\mathrm{e},\ 4) \end{cases}$, donde $a$ y $b$ son números reales. Encuentre el valor de $a$ y de $b$ para que la función sea continua y derivable en el intervalo $(0, 4)$. [1,25 puntos]
b) Calcule la función $g(x)$ que satisface $g'(x) = \dfrac{x^3}{9x^4 + 1}$ y que pasa por el punto $(0, -1)$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Considere la función } \boldsymbol{f(x) = \begin{cases} \ln(x), & \text{si } x \in (0,\ \mathrm{e}) \\ ax + b, & \text{si } x \in [\mathrm{e},\ 4) \end{cases}}\textbf{, donde } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ son números reales. Encuentre el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ y de } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la función sea continua y derivable en el intervalo } \boldsymbol{(0, 4)}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Cada rama es continua y derivable en su intervalo por ser un logaritmo y un polinomio, así que el único punto conflictivo es $x=e$, donde cambia la definición. Imponemos allí las dos condiciones.

Continuidad en $x=e$: los dos límites laterales y el valor de la función han de coincidir.

$\lim_{x\to e^-}\ln x=\ln e=1$

$\lim_{x\to e^+}\left(ax+b\right)=f(e)=a\,e+b$

$a\,e+b=1$

Derivabilidad en $x=e$: las derivadas laterales han de coincidir.

$f'(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x}, & \text{si } 0<x<e \\ a, & \text{si } e<x<4 \end{cases}$

$f'(e^-)=\dfrac{1}{e}, \qquad f'(e^+)=a \Rightarrow a=\dfrac{1}{e}$

Sustituimos en la condición de continuidad para obtener $b$.

$\dfrac{1}{e}\cdot e+b=1 \Rightarrow 1+b=1 \Rightarrow b=0$

La función es continua y derivable en $(0,4)$ si $a=\dfrac{1}{e}$ y $b=0$; la segunda rama es entonces $y=\frac{x}{e}$, que es precisamente la recta tangente a $\ln x$ en $x=e$.

$\textbf{b) Calcule la función } \boldsymbol{g(x)}\textbf{ que satisface } \boldsymbol{g'(x) = \dfrac{x^3}{9x^4 + 1}}\textbf{ y que pasa por el punto } \boldsymbol{(0, -1)}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Integramos la derivada para recuperar $g$ y luego fijamos la constante con el punto. La integral es de tipo logarítmico, porque en el numerador está, salvo un factor constante, la derivada del denominador.

$\left(9x^4+1\right)'=36x^3$

$g(x)=\int\dfrac{x^3}{9x^4+1}\,dx=\dfrac{1}{36}\int\dfrac{36x^3}{9x^4+1}\,dx=\dfrac{1}{36}\ln\left|9x^4+1\right|+C$

Como $9x^4+1>0$ para todo $x$, se puede quitar el valor absoluto.

$g(x)=\dfrac{1}{36}\ln\left(9x^4+1\right)+C$

Imponemos que la gráfica pase por $(0,-1)$.

$g(0)=\dfrac{1}{36}\ln 1+C=0+C=-1 \Rightarrow C=-1$

$g(x)=\dfrac{1}{36}\ln\left(9x^4+1\right)-1$

La función pedida es $g(x)=\dfrac{1}{36}\ln\left(9x^4+1\right)-1$.