Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2022

Considere la función $f(x) = \dfrac{9}{x^2 + x - 2}$.

a) Determine el dominio, las posibles asíntotas, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. [1,25 puntos]
b) Calcule la ecuación general de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 4$. Represente en un mismo gráfico la función $f(x)$ y la recta tangente. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine el dominio, las posibles asíntotas, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. (1,25 puntos)}$

El dominio de una función racional lo dan los ceros del denominador, así que empezamos factorizándolo.

$x^2+x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{-1\pm 3}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=-2 \end{cases}$

$x^2+x-2=(x+2)(x-1) \Rightarrow \text{Dom } f=\mathbb{R}-\{-2,\,1\}$

Las dos abscisas excluidas son las candidatas a asíntota vertical, y lo son porque el numerador no se anula en ellas.

$\lim_{x\to -2}\dfrac{9}{(x+2)(x-1)}=\dfrac{9}{0}=\infty \Rightarrow x=-2 \text{ es asíntota vertical.}$

$\lim_{x\to 1}\dfrac{9}{(x+2)(x-1)}=\dfrac{9}{0}=\infty \Rightarrow x=1 \text{ es asíntota vertical.}$

$\lim_{x\to \pm\infty}\dfrac{9}{x^2+x-2}=\dfrac{9}{\infty}=0 \Rightarrow y=0 \text{ es asíntota horizontal.}$

Al haber asíntota horizontal no puede haber asíntota oblicua.

Para los extremos y la monotonía derivamos, escribiendo la función como una potencia para aplicar la regla de la cadena.

$f(x)=9\left(x^2+x-2\right)^{-1} \Rightarrow f'(x)=-9\left(x^2+x-2\right)^{-2}(2x+1)=\dfrac{-9(2x+1)}{\left(x^2+x-2\right)^2}$

$f'(x)=0 \Rightarrow -9(2x+1)=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}$

El denominador está elevado al cuadrado, así que es positivo en todo el dominio y el signo de $f'(x)$ es el de $-9(2x+1)$.

$x<-\dfrac{1}{2} \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ es creciente}$

$x>-\dfrac{1}{2} \Rightarrow f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ es decreciente}$

Hay que respetar el dominio al escribir los intervalos, porque en $x=-2$ y en $x=1$ la función no existe.

$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{9}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2}=\dfrac{9}{-\frac{9}{4}}=-4$

El dominio es $\mathbb{R}-\{-2,1\}$, con asíntotas verticales $x=-2$ y $x=1$ y asíntota horizontal $y=0$. La función es creciente en $(-\infty,-2)$ y en $\left(-2,-\frac{1}{2}\right)$, decreciente en $\left(-\frac{1}{2},1\right)$ y en $(1,+\infty)$, y tiene un máximo relativo en $\left(-\frac{1}{2},-4\right)$.

$\textbf{b) Calcule la ecuación general de la recta tangente a la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 4}\textbf{. Represente en un mismo gráfico la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y la recta tangente. (1,25 puntos)}$

Evaluamos la función y la derivada en $x=4$ y aplicamos la ecuación punto-pendiente.

$f(4)=\dfrac{9}{16+4-2}=\dfrac{9}{18}=\dfrac{1}{2}$

$f'(4)=\dfrac{-9\,(2\cdot 4+1)}{\left(16+4-2\right)^2}=\dfrac{-81}{324}=-\dfrac{1}{4}$

$y-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}(x-4) \Rightarrow y=-\dfrac{x}{4}+1+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{x}{4}+\dfrac{3}{2}$

La ecuación general se obtiene pasando todo al primer miembro y quitando denominadores.

$\dfrac{x}{4}+y-\dfrac{3}{2}=0 \Rightarrow x+4y-6=0$

Con el dominio, las asíntotas, la monotonía y el máximo del apartado a) ya se puede dibujar la curva, y sobre ella la recta tangente en el punto $\left(4,\frac{1}{2}\right)$.



La recta tangente en el punto de abscisa $x=4$ es $x+4y-6=0$, y toca a la curva en el punto $\left(4,\frac{1}{2}\right)$ de la rama derecha.