Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

El palo central que sostiene la lona de la carpa de un circo se sitúa perpendicularmente sobre el plano de un suelo cuya ecuación es $\pi: x - z = 6$. Sabemos que la cúpula de la carpa (el punto más alto por donde pasa el palo) está en el punto de coordenadas $P = (30, 1, 0)$.

a) Calcule la ecuación paramétrica de la recta que contiene el palo. [1 punto]
b) Calcule las coordenadas del punto de contacto del palo con el suelo, y la longitud del palo. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule la ecuación paramétrica de la recta que contiene el palo. (1 punto)}$










El palo es perpendicular al suelo, así que la recta que lo contiene tiene por vector director el vector normal del plano. Y pasa por el punto $P$, que es la cúpula.

$\pi:\ x-z-6=0 \Rightarrow \vec n_{\pi}=(1,0,-1)$

$r:\ \begin{cases} x=30+\lambda \\ y=1 \\ z=-\lambda \end{cases} \quad \lambda\in\mathbb{R}$





La recta que contiene el palo es la anterior, que pasa por $P(30,1,0)$ con vector director $(1,0,-1)$.

$\textbf{b) Calcule las coordenadas del punto de contacto del palo con el suelo, y la longitud del palo. (1,5 puntos)}$

El punto de contacto es la intersección de la recta con el plano, así que sustituimos las paramétricas en la ecuación del suelo.

$(30+\lambda)-(-\lambda)-6=0 \Rightarrow 30+2\lambda-6=0 \Rightarrow 2\lambda=-24 \Rightarrow \lambda=-12$

$x=30-12=18, \qquad y=1, \qquad z=-(-12)=12$

$Q(18,1,12)$

Comprobamos que el punto está en el suelo: $18-12=6$.

La longitud del palo es la distancia entre la cúpula y el punto de contacto.

$\overrightarrow{PQ}=(18-30,\,1-1,\,12-0)=(-12,0,12)$

$|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(-12)^2+0^2+12^2}=\sqrt{288}=12\sqrt{2}\approx 16{,}97$

Se puede comprobar con la fórmula de la distancia de un punto a un plano, que ha de dar lo mismo por ser $Q$ el pie de la perpendicular:

$d(P,\pi)=\dfrac{|30-0-6|}{\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}}=\dfrac{24}{\sqrt{2}}=12\sqrt{2}$

El palo toca el suelo en el punto $Q(18,1,12)$ y mide $12\sqrt{2}\approx 16{,}97$ unidades de longitud.