Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2022

En el patio de una escuela se quiere crear un área de juego de $30\ \mathrm{m^2}$ para los más pequeños en forma de trapecio rectangular, de manera que la base mayor mida el doble que la base menor, tal como muestra la figura, y que el lado oblicuo respecto a las bases ($D$) sea tan corto como sea posible.



a) Justifique que se satisfacen las relaciones siguientes: $h = \dfrac{20}{x}$ y $D(x) = \sqrt{\dfrac{400}{x^2} + x^2}$. [1 punto]
b) Encuentre las dimensiones del trapecio para las cuales la longitud del lado $D$ es mínima. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Justifique que se satisfacen las relaciones siguientes: } \boldsymbol{h = \dfrac{20}{x}}\textbf{ y } \boldsymbol{D(x) = \sqrt{\dfrac{400}{x^2} + x^2}}\textbf{. (1 punto)}$

La primera relación sale de la superficie. El área de un trapecio es la semisuma de las bases por la altura, y aquí las bases miden $x$ y $2x$.

$S=\dfrac{(x+2x)\,h}{2}=\dfrac{3x\,h}{2}=30$

$3x\,h=60 \Rightarrow h=\dfrac{60}{3x}=\dfrac{20}{x}$

La segunda sale del teorema de Pitágoras. Al ser el trapecio rectangular, el lado oblicuo $D$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto vertical es la altura $h$ y cuyo cateto horizontal es lo que la base mayor sobresale respecto de la menor.

$2x-x=x$

$D^2=x^2+h^2=x^2+\left(\dfrac{20}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{400}{x^2}$

$D(x)=\sqrt{\dfrac{400}{x^2}+x^2}$

Quedan justificadas las dos relaciones del enunciado, válidas para $x>0$.

$\textbf{b) Encuentre las dimensiones del trapecio para las cuales la longitud del lado } \boldsymbol{D}\textbf{ es mínima. (1,5 puntos)}$

La raíz cuadrada es una función creciente, así que $D(x)$ alcanza el mínimo en el mismo punto en que lo alcanza el radicando. Minimizamos, por tanto, la función más sencilla

$g(x)=\dfrac{400}{x^2}+x^2=400x^{-2}+x^2, \qquad x>0$

$g'(x)=-800x^{-3}+2x=-\dfrac{800}{x^3}+2x$

$g'(x)=0 \Rightarrow 2x=\dfrac{800}{x^3} \Rightarrow x^4=400 \Rightarrow x=\sqrt[4]{400}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Se toma solo la raíz positiva porque $x$ es una longitud.

$g''(x)=\dfrac{2400}{x^4}+2>0 \ \ \forall x>0 \Rightarrow \text{en } x=2\sqrt{5} \text{ hay un mínimo.}$

Al ser el único extremo en $(0,+\infty)$, ese mínimo relativo es el absoluto.

$h=\dfrac{20}{2\sqrt{5}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$

$D=\sqrt{\left(2\sqrt{5}\right)^2+\left(2\sqrt{5}\right)^2}=\sqrt{20+20}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

El lado oblicuo es mínimo cuando la base menor mide $2\sqrt{5}\approx 4{,}47$ m, la base mayor $4\sqrt{5}\approx 8{,}94$ m y la altura $2\sqrt{5}\approx 4{,}47$ m; con esas dimensiones $D=2\sqrt{10}\approx 6{,}32$ m.