Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

a) Encuentre una función polinómica $y = g(x)$ de grado 3 tal que corte el eje de ordenadas en el punto $(0, 5)$, que la recta tangente a $y = g(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$ sea horizontal y que $g''(x) = 2x + 1$. [1 punto]
b) Compruebe que la función $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 16$ tiene una raíz en $x = 2$ y que es estrictamente creciente en el intervalo $(0, 4)$. Utilice esta información para calcular el área determinada por la función $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 4$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Encuentre una función polinómica } \boldsymbol{y = g(x)}\textbf{ de grado 3 tal que corte el eje de ordenadas en el punto } \boldsymbol{(0, 5)}\textbf{, que la recta tangente a } \boldsymbol{y = g(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 1}\textbf{ sea horizontal y que } \boldsymbol{g''(x) = 2x + 1}\textbf{. (1 punto)}$

Partimos del dato más fuerte, la derivada segunda, e integramos dos veces; cada integración deja una constante que fijaremos con las otras dos condiciones.

$g'(x)=\int\left(2x+1\right)dx=x^2+x+C_1$

Que la recta tangente en $x=1$ sea horizontal significa que su pendiente es cero, es decir, $g'(1)=0$.

$g'(1)=1+1+C_1=0 \Rightarrow C_1=-2$

$g'(x)=x^2+x-2$

$g(x)=\int\left(x^2+x-2\right)dx=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x+C_2$

Que la gráfica corte al eje de ordenadas en $(0,5)$ significa que $g(0)=5$.

$g(0)=C_2=5$

$g(x)=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x+5$

La función pedida es $g(x)=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x+5$, que es de grado 3 y cumple las tres condiciones.

$\textbf{b) Compruebe que la función } \boldsymbol{f(x) = -x^3 + 6x^2 - 16}\textbf{ tiene una raíz en } \boldsymbol{x = 2}\textbf{ y que es estrictamente creciente en el intervalo } \boldsymbol{(0, 4)}\textbf{. Utilice esta información para calcular el área determinada por la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, el eje de abscisas y las rectas } \boldsymbol{x = 0}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 4}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Comprobamos primero la raíz sustituyendo.

$f(2)=-2^3+6\cdot 2^2-16=-8+24-16=0$

Para el crecimiento estudiamos el signo de la derivada en el intervalo.

$f'(x)=-3x^2+12x=-3x\,(x-4)$

$0<x<4 \Rightarrow x>0 \ \text{y} \ x-4<0 \Rightarrow -3x<0 \ \text{y} \ (x-4)<0 \Rightarrow f'(x)>0$

La derivada es positiva en todo el intervalo, luego $f$ es estrictamente creciente en $(0,4)$.

Esta información es la que resuelve el problema del área: al ser estrictamente creciente y anularse en $x=2$, la función es negativa antes de esa abscisa y positiva después, y solo cambia de signo ahí. El recinto tiene, por tanto, dos trozos.



$F(x)=\int\left(-x^3+6x^2-16\right)dx=-\dfrac{x^4}{4}+2x^3-16x$

$F(0)=0, \qquad F(2)=-4+16-32=-20, \qquad F(4)=-64+128-64=0$

$A_1=\left|\int_{0}^{2}f(x)\,dx\right|=|F(2)-F(0)|=|-20|=20$

$A_2=\int_{2}^{4}f(x)\,dx=F(4)-F(2)=0-(-20)=20$

$A=A_1+A_2=20+20=40$

El área determinada por la curva, el eje de abscisas y las rectas $x=0$ y $x=4$ es de 40 unidades cuadradas. Obsérvese que integrar directamente entre 0 y 4 habría dado 0, porque los dos trozos se compensan: por eso hacía falta saber dónde cambia de signo la función.