Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Sea la recta $r$ definida por la expresión siguiente:

$r: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -1 + 3\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$

a) Determine la posición relativa de la recta $r$ respecto al plano $\pi: x - 2y + 4z - 4 = 0$. Si es paralela, calcule la distancia de $r$ a $\pi$, y si es secante, calcule el punto de corte. [1,25 puntos]
b) Calcule la ecuación de la recta $s$ perpendicular al plano $\pi$ y que corta la recta $r$ en un punto $P$, cuya primera coordenada es 5 veces mayor que la segunda. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine la posición relativa de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ respecto al plano } \boldsymbol{\pi: x - 2y + 4z - 4 = 0}\textbf{. Si es paralela, calcule la distancia de } \boldsymbol{r}\textbf{ a } \boldsymbol{\pi}\textbf{, y si es secante, calcule el punto de corte. (1,25 puntos)}$










La posición relativa se decide comparando el vector director de la recta con el vector normal del plano: si son perpendiculares, la recta es paralela al plano o está contenida en él; si no, la recta lo corta.

$\vec v_r=(1,3,1), \qquad \vec n_{\pi}=(1,-2,4)$

$\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=1\cdot 1+3\cdot(-2)+1\cdot 4=1-6+4=-1\neq 0$





El producto escalar no es nulo, luego la recta y el plano son secantes y hay que calcular el punto de corte. Sustituimos las ecuaciones paramétricas de $r$ en la ecuación de $\pi$.

$(2+\lambda)-2(-1+3\lambda)+4(3+\lambda)-4=0$

$2+\lambda+2-6\lambda+12+4\lambda-4=0 \Rightarrow -\lambda+12=0 \Rightarrow \lambda=12$

$x=2+12=14, \qquad y=-1+36=35, \qquad z=3+12=15$

Comprobamos que el punto está en el plano: $14-70+60-4=0$.

La recta $r$ y el plano $\pi$ son secantes y se cortan en el punto $(14,35,15)$.

$\textbf{b) Calcule la ecuación de la recta } \boldsymbol{s}\textbf{ perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y que corta la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ en un punto } \boldsymbol{P}\textbf{, cuya primera coordenada es 5 veces mayor que la segunda. (1,25 puntos)}$

De la recta $s$ ya conocemos la dirección: por ser perpendicular al plano, su vector director es el vector normal de $\pi$.

$\vec v_s=\vec n_{\pi}=(1,-2,4)$

Falta el punto $P$, que está sobre $r$ y cumple $x=5y$. Imponemos esa condición sobre las coordenadas paramétricas de $r$.

$2+\lambda=5\,(-1+3\lambda) \Rightarrow 2+\lambda=-5+15\lambda \Rightarrow 7=14\lambda \Rightarrow \lambda=\dfrac{1}{2}$

$x=2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}, \qquad y=-1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}, \qquad z=3+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$

$P\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{7}{2}\right), \qquad \text{y en efecto } \dfrac{5}{2}=5\cdot\dfrac{1}{2}$

$s:\ \begin{cases} x=\dfrac{5}{2}+t \\ y=\dfrac{1}{2}-2t \\ z=\dfrac{7}{2}+4t \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}$

La recta pedida es $s$, que pasa por $P\left(\frac{5}{2},\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)$ y tiene vector director $(1,-2,4)$.