Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real $a$:

$\begin{cases} ax + 2y + 3z = 2 \\ 2x + ay + z = a \\ x + y + 4z = 1 \end{cases}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $a$. [1,5 puntos]
b) Resuelva, si es posible, el sistema para el caso $a = 2$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\begin{pmatrix} a & 2 & 3 \\ 2 & a & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \qquad A^*=\begin{pmatrix} a & 2 & 3 & 2 \\ 2 & a & 1 & a \\ 1 & 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

$|A|=4a^2+2+6-\left(3a+a+16\right)=4a^2+8-4a-16=4a^2-4a-8$

$|A|=0 \Rightarrow 4\left(a^2-a-2\right)=0 \Rightarrow a=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{1\pm 3}{2} \Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ a=-1 \end{cases}$

Si $a\neq 2$ y $a\neq -1$, entonces $|A|\neq 0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3=\text{n\'umero de inc\'ognitas} \Rightarrow \text{sistema compatible determinado.}$

Si $a=-1$:

$A^*=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=1-4=-3\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=1-2+4-(-2+1+4)=3-3=0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=2$

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=2<3 \Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

Si $a=2$:

$A^*=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

Las dos primeras columnas son iguales, así que el menor no nulo hay que buscarlo con las columnas de $y$ y $z$.

$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=2-6=-4\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix}=2+6+16-\left(2+16+6\right)=24-24=0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=2$

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=2<3 \Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

El sistema es compatible determinado para $a\neq -1$ y $a\neq 2$, y compatible indeterminado para $a=-1$ y para $a=2$; no es incompatible para ningún valor del parámetro.

$\textbf{b) Resuelva, si es posible, el sistema para el caso } \boldsymbol{a = 2}\textbf{. (1 punto)}$

Para $a=2$ el sistema es compatible indeterminado, con una infinidad de soluciones que dependen de un parámetro. El sistema es

$\begin{cases} 2x+2y+3z=2 \\ 2x+2y+z=2 \\ x+y+4z=1 \end{cases}$

Restando la segunda ecuación de la primera se van todas las incógnitas salvo $z$:

$2z=0 \Rightarrow z=0$

Sustituyendo en la tercera ecuación:

$x+y+0=1 \Rightarrow x=1-y$

$\begin{cases} x=1-\mu \\ y=\mu \\ z=0 \end{cases} \quad \mu\in\mathbb{R}$

Para $a=2$ el sistema tiene infinitas soluciones: todos los puntos de la recta $(1-\mu,\ \mu,\ 0)$, con $\mu\in\mathbb{R}$.