Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Sea $f'(x) = 3x^2 - 12x$ la derivada de una función $f(x)$.

a) Si sabemos que $f(x)$ corta el eje de abscisas en $x = 1$, calcule la expresión de la función $f(x)$. [0,75 puntos]
b) Calcule la abscisa del punto de inflexión de $f(x)$ y estudie la concavidad de la función. [0,75 puntos]
c) Sabemos que el área del recinto limitado por la curva $y = f''(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = a$, con $a > 2$, es $15u^2$. Calcule el valor de $a$. [1 punto]

$\textbf{a) Si sabemos que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ corta el eje de abscisas en } \boldsymbol{x = 1}\textbf{, calcule la expresión de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Conocer la derivada determina la función salvo una constante, así que integramos y luego fijamos la constante con el dato del corte.

$f(x)=\int\left(3x^2-12x\right)dx=x^3-6x^2+C$

Que la gráfica corte al eje de abscisas en $x=1$ significa que $f(1)=0$.

$f(1)=1-6+C=0 \Rightarrow C=5$

$f(x)=x^3-6x^2+5$

La función es $f(x)=x^3-6x^2+5$.

$\textbf{b) Calcule la abscisa del punto de inflexión de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y estudie la concavidad de la función. (0,75 puntos)}$

Los puntos de inflexión y la concavidad se estudian con la derivada segunda.

$f'(x)=3x^2-12x \Rightarrow f''(x)=6x-12$

$f''(x)=0 \Rightarrow 6x-12=0 \Rightarrow x=2$

$f''(x)=6x-12$ es una recta de pendiente positiva, así que cambia de signo al pasar por $x=2$.

$x<2 \Rightarrow f''(x)<0 \Rightarrow f \text{ es cóncava hacia abajo}$

$x>2 \Rightarrow f''(x)>0 \Rightarrow f \text{ es cóncava hacia arriba (convexa)}$

Como la derivada segunda cambia de signo en $x=2$, ahí hay un punto de inflexión.

$f(2)=8-24+5=-11 \Rightarrow (2,-11)$

La función tiene un punto de inflexión de abscisa $x=2$, es cóncava hacia abajo en $(-\infty,2)$ y cóncava hacia arriba en $(2,+\infty)$.

$\textbf{c) Sabemos que el área del recinto limitado por la curva } \boldsymbol{y = f''(x)}\textbf{, el eje de abscisas y las rectas } \boldsymbol{x = 0}\textbf{ y } \boldsymbol{x = a}\textbf{, con } \boldsymbol{a > 2}\textbf{, es } \boldsymbol{15u^2}\textbf{. Calcule el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{. (1 punto)}$

La curva $y=f''(x)=6x-12$ es una recta que corta al eje de abscisas justamente en $x=2$, y como $a>2$ ese corte queda dentro del intervalo de integración. El recinto consta, por tanto, de dos trozos: uno por debajo del eje en $[0,2]$ y otro por encima en $[2,a]$, y hay que sumar sus áreas.



$A_1=\int_{0}^{2}\left(12-6x\right)dx=\left[12x-3x^2\right]_{0}^{2}=24-12=12$

$A_2=\int_{2}^{a}\left(6x-12\right)dx=\left[3x^2-12x\right]_{2}^{a}=\left(3a^2-12a\right)-\left(12-24\right)=3a^2-12a+12$

$A_1+A_2=12+3a^2-12a+12=3a^2-12a+24$

Igualamos al área que da el enunciado y resolvemos.

$3a^2-12a+24=15 \Rightarrow 3a^2-12a+9=0 \Rightarrow a^2-4a+3=0$

$a=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\dfrac{4\pm 2}{2} \Rightarrow \begin{cases} a=3 \\ a=1 \end{cases}$

Se descarta $a=1$ porque el enunciado exige $a>2$.

El valor pedido es $a=3$; en efecto, $A_1=12$ y $A_2=3$ suman las 15 unidades cuadradas del enunciado.