Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2023

Queremos construir una pieza metálica que tenga por sección un trapecio isósceles con la base superior tres veces más larga que la base inferior. Los otros lados del trapecio miden 10 mm, tal como puede observar en la figura siguiente:



a) Exprese la altura del trapecio en función de la longitud $x$ de la base inferior. [0,5 puntos]
b) Calcule la longitud de la base inferior del trapecio de manera que el área de la pieza sea máxima y encuentre el valor de esta área máxima. [2 puntos]

$\textbf{a) Exprese la altura del trapecio en función de la longitud } \boldsymbol{x}\textbf{ de la base inferior. (0,5 puntos)}$










Al trazar la altura desde un vértice de la base inferior aparece un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el lado de 10 mm. Su cateto horizontal es la mitad de lo que la base superior sobresale por los dos lados.

$\dfrac{3x-x}{2}=\dfrac{2x}{2}=x$

Aplicamos el teorema de Pitágoras a ese triángulo, de catetos $x$ y $h$.

$x^2+h^2=10^2$





$h=\sqrt{100-x^2}$

La altura del trapecio es $h=\sqrt{100-x^2}$ mm, y para que tenga sentido debe cumplirse $0<x<10$.

$\textbf{b) Calcule la longitud de la base inferior del trapecio de manera que el área de la pieza sea máxima y encuentre el valor de esta área máxima. (2 puntos)}$

Escribimos el área del trapecio con la fórmula habitual y sustituimos la altura del apartado anterior, con lo que queda en función de una sola variable.

$A(x)=\dfrac{(B+b)\,h}{2}=\dfrac{(3x+x)\,h}{2}=2x\,h=2x\sqrt{100-x^2}, \qquad 0<x<10$

Derivamos aplicando la regla del producto.

$A'(x)=2\sqrt{100-x^2}+2x\cdot\dfrac{-2x}{2\sqrt{100-x^2}}=2\sqrt{100-x^2}-\dfrac{2x^2}{\sqrt{100-x^2}}$

$A'(x)=\dfrac{2\left(100-x^2\right)-2x^2}{\sqrt{100-x^2}}=\dfrac{200-4x^2}{\sqrt{100-x^2}}$

$A'(x)=0 \Rightarrow 200-4x^2=0 \Rightarrow x^2=50 \Rightarrow x=\pm\sqrt{50}=\pm 5\sqrt{2}$

Se descarta la solución negativa porque $x$ es una longitud.

El denominador es siempre positivo en $(0,10)$, así que el signo de $A'(x)$ es el del numerador $200-4x^2$.

$0<x<5\sqrt{2} \Rightarrow A'(x)>0 \Rightarrow A \text{ es creciente}$

$5\sqrt{2}<x<10 \Rightarrow A'(x)<0 \Rightarrow A \text{ es decreciente}$

La función pasa de creciente a decreciente, luego en $x=5\sqrt{2}$ hay un máximo, y por ser el único extremo del intervalo es el máximo absoluto.

$h=\sqrt{100-50}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

$A\left(5\sqrt{2}\right)=2\cdot 5\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}=2\cdot 50=100$

El área es máxima cuando la base inferior mide $5\sqrt{2}\approx 7{,}07$ mm, y esa área máxima vale $100\ \text{mm}^2$.