Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sean $r_1$ y $r_2$ las rectas definidas por $r_1: x - 1 = y = -z$ y por $r_2: x = y = z$, respectivamente.

a) Calcule la ecuación paramétrica de la recta que corta perpendicularmente las rectas $r_1$ y $r_2$. [1,75 puntos]
b) Calcule la distancia entre $r_1$ y $r_2$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule la ecuación paramétrica de la recta que corta perpendicularmente las rectas } \boldsymbol{r_1}\textbf{ y } \boldsymbol{r_2}\textbf{. (1,75 puntos)}$










Escribimos cada recta con un punto y un vector director, leyéndolos de sus ecuaciones continuas.

$r_1:\ \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{-1} \Rightarrow P_1(1,0,0),\ \vec v_1=(1,1,-1)$

$r_2:\ \dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{1} \Rightarrow P_2(0,0,0),\ \vec v_2=(1,1,1)$





La perpendicular común tiene que ser perpendicular a los dos vectores directores, así que su vector director es el producto vectorial de ambos.

$\vec w=\vec v_1\times\vec v_2=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(2,-2,0)$

Como los vectores directores se pueden simplificar, tomamos $\vec w=(1,-1,0)$.

La construimos como intersección de dos planos: el plano $\alpha$ que contiene a $r_1$ y a la dirección $\vec w$, y el plano $\beta$ que contiene a $r_2$ y a esa misma dirección. La perpendicular común está en los dos.

$\vec n_{\alpha}=\vec v_1\times\vec w=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}=(-1,-1,-2)$

$\alpha:\ -(x-1)-y-2z=0 \Rightarrow x+y+2z-1=0$

$\vec n_{\beta}=\vec v_2\times\vec w=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}=(1,1,-2)$

$\beta:\ x+y-2z=0$

Resolvemos el sistema formado por los dos planos. Restando la segunda ecuación de la primera se elimina $x+y$:

$4z-1=0 \Rightarrow z=\dfrac{1}{4} \Rightarrow x+y=2z=\dfrac{1}{2}$

$s:\ \begin{cases} x=\mu \\ y=\dfrac{1}{2}-\mu \\ z=\dfrac{1}{4} \end{cases} \quad \mu\in\mathbb{R}$

Los pies de la perpendicular se obtienen imponiendo $z=\frac{1}{4}$ en cada recta: en $r_2$ sale $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ y en $r_1$, $\left(\frac{3}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$; los dos cumplen $x+y=\frac{1}{2}$, como debe ser.

La recta que corta perpendicularmente a $r_1$ y $r_2$ es $s$, que pasa por $\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$ y tiene vector director $(1,-1,0)$.

$\textbf{b) Calcule la distancia entre } \boldsymbol{r_1}\textbf{ y } \boldsymbol{r_2}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Las dos rectas se cruzan, así que su distancia es la longitud del segmento de perpendicular común, que se calcula con el producto mixto.

$\overrightarrow{P_1P_2}=(0,0,0)-(1,0,0)=(-1,0,0)$

$d(r_1,r_2)=\dfrac{\left|\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\left(\vec v_1\times\vec v_2\right)\right|}{\left|\vec v_1\times\vec v_2\right|}=\dfrac{|(-1,0,0)\cdot(2,-2,0)|}{|(2,-2,0)|}$

$d(r_1,r_2)=\dfrac{|-2|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{8}}=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

El mismo valor se obtiene midiendo el segmento entre los dos pies del apartado anterior:

$\left|\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4},\,-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4},\,0\right)\right|=\left|\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},0\right)\right|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

La distancia entre las dos rectas es $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}71$ unidades.