Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Sea la función $f(x)$ definida por $f(x) = -3x + e^{2x^3-1}$.

a) Justifique que $f(x) = 2$ tiene una solución en el intervalo $(-1, 0)$. [1,25 puntos]
b) Sea la función $h(x) = -3x^2 + e^{2x^3-1}$. Calcule el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x)$ y $h(x)$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Justifique que } \boldsymbol{f(x) = 2}\textbf{ tiene una solución en el intervalo } \boldsymbol{(-1, 0)}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Resolver $f(x)=2$ equivale a buscar un cero de la función auxiliar $g(x)=f(x)-2$, y para eso aplicamos el teorema de Bolzano.

$g(x)=-3x+e^{2x^3-1}-2$

La función $g$ es continua en $[-1,0]$ por ser suma de un polinomio y de una exponencial cuyo exponente es polinómico. Evaluamos en los extremos.

$g(-1)=3+e^{2(-1)^3-1}-2=3+e^{-3}-2=1+e^{-3}\approx 1{,}0498>0$

$g(0)=0+e^{-1}-2\approx 0{,}3679-2=-1{,}6321<0$

Los signos son distintos, así que por el teorema de Bolzano existe al menos un $c\in(-1,0)$ con $g(c)=0$, es decir, con $f(c)=2$.

La ecuación $f(x)=2$ tiene, por tanto, al menos una solución en el intervalo $(-1,0)$.

$\textbf{b) Sea la función } \boldsymbol{h(x) = -3x^2 + e^{2x^3-1}}\textbf{. Calcule el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{h(x)}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Buscamos primero los puntos de corte de las dos gráficas. Al restar las funciones, la exponencial, que es común a las dos, desaparece, y queda una ecuación de segundo grado.

$f(x)-h(x)=\left(-3x+e^{2x^3-1}\right)-\left(-3x^2+e^{2x^3-1}\right)=3x^2-3x=3x(x-1)$

$3x(x-1)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=1 \end{cases}$

Entre esas dos abscisas la diferencia no cambia de signo. Tomando $x=\frac{1}{2}$:

$3\cdot\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-1\right)=-\dfrac{3}{4}<0 \Rightarrow h(x)>f(x) \ \text{ en } (0,1)$



Integramos, por tanto, la diferencia $h-f$ entre 0 y 1.

$A=\int_{0}^{1}\big[h(x)-f(x)\big]\,dx=\int_{0}^{1}\left(3x-3x^2\right)dx$

$A=\left[\dfrac{3x^2}{2}-x^3\right]_{0}^{1}=\left(\dfrac{3}{2}-1\right)-0=\dfrac{1}{2}$

El área de la región comprendida entre las dos gráficas es de $\dfrac{1}{2}$ unidades cuadradas.