Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Sea la función $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = 2$. [0,75 puntos]
b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = k$, donde $k$ es un número real positivo. [0,75 puntos]
c) Compruebe que, tal como se puede ver en la figura de abajo, la recta del apartado b determina un triángulo de área constante con los semiejes positivos de coordenadas. Calcule esta área. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 2}\textbf{. (0,75 puntos)}$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=2$ es $y-f(2)=f'(2)\,(x-2)$, así que calculamos la derivada y evaluamos.

$f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1} \Rightarrow f'(x)=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$

$f(2)=\dfrac{1}{2}, \qquad f'(2)=-\dfrac{1}{4}$

$y-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}(x-2) \Rightarrow y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}$

$y=-\dfrac{1}{4}x+1$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=2$ es $y=-\dfrac{1}{4}x+1$.

$\textbf{b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = k}\textbf{, donde } \boldsymbol{k}\textbf{ es un número real positivo. (0,75 puntos)}$

Repetimos el cálculo anterior dejando la abscisa como parámetro.

$f(k)=\dfrac{1}{k}, \qquad f'(k)=-\dfrac{1}{k^2}$

$y-\dfrac{1}{k}=-\dfrac{1}{k^2}(x-k) \Rightarrow y=-\dfrac{x}{k^2}+\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k}$

$y=-\dfrac{x}{k^2}+\dfrac{2}{k}$

Para $k=2$ se recupera la recta del apartado a), lo que confirma el resultado.

$\textbf{c) Compruebe que, tal como se puede ver en la figura de abajo, la recta del apartado b determina un triángulo de área constante con los semiejes positivos de coordenadas. Calcule esta área. (1 punto)}$

El triángulo tiene los catetos sobre los semiejes positivos, de modo que sus vértices son el origen y los dos puntos de corte de la recta con los ejes. Calculamos esos cortes.

$x=0 \Rightarrow y=\dfrac{2}{k} \Rightarrow \text{corte con } OY:\ \left(0,\dfrac{2}{k}\right)$

$y=0 \Rightarrow -\dfrac{x}{k^2}+\dfrac{2}{k}=0 \Rightarrow \dfrac{x}{k^2}=\dfrac{2}{k} \Rightarrow x=2k \Rightarrow \text{corte con } OX:\ (2k,0)$

Como $k>0$, los dos cortes caen en los semiejes positivos. Los catetos del triángulo rectángulo miden $2k$ y $\frac{2}{k}$.

$S=\dfrac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}=\dfrac{2k\cdot\dfrac{2}{k}}{2}=\dfrac{4}{2}=2$

El área vale 2 unidades cuadradas sea cual sea $k>0$: el parámetro se cancela, de modo que todas las rectas tangentes a la hipérbola determinan con los semiejes positivos triángulos de la misma área.